Questão 4: ( 2,5 pontos) Todos os vetores são referidos a uma base. Ache para que os vetores dados sejam LD: .
Passo 1
Beleza, então a gente tem a Questão: “Ache todos os valores de para que os vetores
sejam linearmente dependentes (LD)”.
Conteúdo: Dependência linear em e cálculo de determinante.
O que vamos precisar:
Entender o que é vetores LD.
Saber que, em , três vetores são LD se o determinante da matriz formada por eles for zero.
Calcular esse determinante em função de .
Passo 2
O que é dependência linear?
Três vetores em são LD se existir uma combinação
com ao menos um dos escalares diferente de zero.
Teorema chave: isso acontece se, e somente se, o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas de for zero.
Passo 3
Vamos montar a matriz com as coordenadas como colunas:
O determinante de uma matriz qualquer
é
Aqui, como só o primeiro elemento da primeira linha é não‐zero, fica mais fácil expandir pela primeira linha:
Agora o menor :
Logo,
Passo 4
Para que os vetores sejam LD, precisamos de det(A)=0. Assim:
m^2(6 - m)=0 Longrightarrow m^2=0ou6-m=0
Rightarrow m=0ou m=6
Resposta
Os vetores vec u,vec v,vec w são linearmente dependentes exatamente para