Questão 4: ( 2,5 pontos) Todos os vetores são referidos a uma base. Ache m para que os vetores dados sejam LD: u=(m, 2, m+2), v=(0,2, m), w=(0, m, 3 m).

Passo 1

Beleza, então a gente tem a Questão: “Ache todos os valores de m para que os vetores
vec u=(m,2,m+2), vec v=(0,2,m), vec w=(0,m,3m)
sejam linearmente dependentes (LD)”.
Conteúdo: Dependência linear em R^3 e cálculo de determinante.
O que vamos precisar:
  1. Entender o que é vetores LD.
  2. Saber que, em R^3, três vetores são LD se o determinante da matriz formada por eles for zero.
  3. Calcular esse determinante em função de m.

Passo 2

O que é dependência linear?
Três vetores vec u,vec v,vec w em R^3 são LD se existir uma combinação
alpha,vec u+beta,vec v+gamma,vec w=vec 0
com ao menos um dos escalares alpha,beta,gamma diferente de zero.
Teorema chave: isso acontece se, e somente se, o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas de vec u,vec v,vec w for zero.

Passo 3

Vamos montar a matriz com as coordenadas como colunas:
O determinante de uma matriz qualquer

é
Aqui, como só o primeiro elemento da primeira linha é não‐zero, fica mais fácil expandir pela primeira linha:
Agora o menor :
Logo,

Passo 4

Para que os vetores sejam LD, precisamos de det(A)=0. Assim:
m^2(6 - m)=0 Longrightarrow m^2=0ou6-m=0
Rightarrow m=0ou m=6

Resposta

Os vetores vec u,vec v,vec w são linearmente dependentes exatamente para
boxedm=0ou m=6

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