Mostre que as matrizes X=[ll1 & 1y y & 1], em que y é um número real não nulo, verificam a equação X^2=2 X.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
X = 1 & dfrac1y[6pt] y & 1 ,
onde y é um real não nulo, e pede para mostrar que
X^2 = 2X
O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes e verificação de igualdade de matrizes.]

Passo 2

Vamos calcular o produto X^2 = Xcdot X usando a definição de multiplicação de matrizes. Para
X = 1 & dfrac1y y & 1 ,
temos
X^2 = 1 & dfrac1y[4pt] y & 1 1 & dfrac1y[4pt] y & 1 = 1cdot1 + tfrac1ycdot y & 1cdottfrac1y + tfrac1ycdot1 [8pt] ycdot1 + 1cdot y & ycdottfrac1y + 1cdot1
Agora simplificamos cada entrada:
  • Entrada (1,1): 1cdot1 + tfrac1ycdot y = 1 + 1 = 2.
  • Entrada (1,2): 1cdottfrac1y + tfrac1ycdot1 = tfrac1y + tfrac1y = tfrac2y.
  • Entrada (2,1): ycdot1 + 1cdot y = y + y = 2y.
  • Entrada (2,2): ycdottfrac1y + 1cdot1 = 1 + 1 = 2.
Logo
X^2 = 2 & tfrac2y[6pt] 2y & 2 ]

Passo 3

Por outro lado,
2X = 2 1 & tfrac1y[4pt] y & 1 = 2 & tfrac2y[6pt] 2y & 2
Comparando, vemos que X^2 e 2X têm todas as entradas iguais.]

Resposta

Logo, para todo real yneq0, vale
X^2 = 2X

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