II. Nos exercícios seguintes, calcule as integrais de superfície integralS F cdot d S para os campos vetoriais F e as superfícies orientadas S indicadas.
F(x, y, z)=(x z, y z, z^2) e S é a porção do cilindro x^2+(y-1)^2=1 entre z=0 e z=9-x^2-y^2, orientada com normal apontando para fora.

Passo 1

A integral a resolver é ∬_S F·n dS, com F(x,y,z)=(xz,yz,z²) e S sendo a parte lateral do cilindro x²+(y−1)²=1 entre z=0 e z=9−x²−y², orientada para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência somando as faces topo (z=9−x²−y²) e base (z=0) para fechar o volume V.

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
nablacdotF = partialpartial x(xz)+partialpartial y(yz)+partialpartial z(z^2)=z+z+2z=4z

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, se S₁ é a lateral, S₂ o topo e S₃ a base, então
integral triplaV 4z,dV=integral duplaS1Fcdot n,dS+integral duplaS2Fcdot n,dS+integral duplaS3Fcdot n,dS,
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integral duplaS1Fcdot n,dS=integral triplaV 4z,dV-integral duplaS2Fcdot n,dS-integral duplaS3Fcdot n,dS

Passo 4

Para o volume V projetado no disco x²+(y−1)²≤1 usamos coordenadas polares x=r cosθ, y=r sinθ, com 0≤θ≤π e 0≤r≤2 sinθ, e 0≤z≤9−r². Assim
integral triplaV4z,dV=integral0^piintegral0^2sinthetaintegral0^9-r^24z;r,dz,dr,dtheta=integral0^piintegral0^2sintheta2(9-r^2)^2;r,dr,dtheta
Fazendo a integral em r e em seguida em θ, obtemos
integral triplaV4z,dV=3443pi

Passo 5

Para o topo S₂: z=9−r², o vetor normal de saída é (2x,2y,1) dA. Então
integral duplaS2Fcdot n,dS=integral duplaDl[2r^2(9-r^2)+(9-r^2)^2r]dA =integral0^piintegral0^2sintheta(81-r^4),r,dr,dtheta=2333pi

Passo 6

No disco da base S₃ em z=0 temos F|_{z=0}=(0,0,0), logo
integral duplaS3Fcdot n,dS=0

Passo 7

Portanto o fluxo pela lateral S é
integral duplaS Fcdot n,dS=3443pi-2333pi=37pi

Resposta

37\pi

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