II. Nos exercícios seguintes, calcule as integrais de superfície
para os campos vetoriais
e as superfícies orientadas
indicadas.
e
é a porção do cilindro
entre
e
, orientada com normal apontando para fora.
Passo 1
A integral a resolver é ∬_S F·n dS, com F(x,y,z)=(xz,yz,z²) e S sendo a parte lateral do cilindro x²+(y−1)²=1 entre z=0 e z=9−x²−y², orientada para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência somando as faces topo (z=9−x²−y²) e base (z=0) para fechar o volume V.
Passo 2
Calculamos a divergência de F:
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, se S₁ é a lateral, S₂ o topo e S₃ a base, então
logo
Passo 4
Para o volume V projetado no disco x²+(y−1)²≤1 usamos coordenadas polares x=r cosθ, y=r sinθ, com 0≤θ≤π e 0≤r≤2 sinθ, e 0≤z≤9−r². Assim
Fazendo a integral em r e em seguida em θ, obtemos
Passo 5
Para o topo S₂: z=9−r², o vetor normal de saída é (2x,2y,1) dA. Então
Passo 6
No disco da base S₃ em z=0 temos F|_{z=0}=(0,0,0), logo
Passo 7
Portanto o fluxo pela lateral S é
Resposta
37\pi