Nos exercícios seguintes, converter os números para a base decimal, determinando o valor da variável x :
1111111_{2}=x_{10}.

Passo 1

O enunciado pede que eu converta o número binário 1111111_{2} para a base decimal, ou seja, determine o valor de x em 1111111_{2}=x_{10}.
Informações dadas: o número em base binária é 1111111_{2}. A incógnita é x_{10}, o mesmo número escrito na base decimal.

Passo 2

Entendendo a notação posicional (explicação didática): em qualquer base, cada dígito tem um peso que é uma potência da base. No sistema binário (base 2), da direita para a esquerda os pesos são 2^{0},2^{1},2^{2},\dots. Cada dígito vale ou 0 ou 1. Para converter, multiplicamos cada dígito pelo seu peso (a potência de 2 correspondente) e somamos tudo. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Coloco os dígitos de 1111111_{2} alinhados com suas potências de 2. Da direita para a esquerda as potências são 2^{0} até 2^{6} porque há 7 dígitos:
\begin{array}{ccccccc} \text{dígitos:} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\ \text{potências:} & 2^{6} & 2^{5} & 2^{4} & 2^{3} & 2^{2} & 2^{1} & 2^{0} \end{array}íê

Passo 4

Escrevo a expansão posicional transformando cada dígito em produto com sua potência de 2:
1111111_{2}=1\cdot 2^{6} + 1\cdot 2^{5} + 1\cdot 2^{4} + 1\cdot 2^{3} + 1\cdot 2^{2} + 1\cdot 2^{1} + 1\cdot 2^{0}.

Passo 5

Calculo cada potência de 2 e os respectivos termos:
2^{6}=64,\quad 2^{5}=32,\quad 2^{4}=16,\quad 2^{3}=8,\quad 2^{2}=4,\quad 2^{1}=2,\quad 2^{0}=1.
Substituindo:
1111111_{2}=64+32+16+8+4+2+1.

Passo 6

Faço a soma passo a passo (para você poder replicar na prova sem calculadora):
64+32=96,
96+16=112,
112+8=120,
120+4=124,
124+2=126,
126+1=127.
Portanto o valor decimal é 127.

Passo 7

(Atalho matemático útil e rápido para a prova) Observação: quando todos os dígitos são 1 num número binário com n dígitos, a soma é uma série geométrica:
\sum_{k=0}^{n-1}2^{k}=2^{n}-1.
Aqui n=7, então 2^{7}-1=128-1=127. Confirma o resultado anterior e é uma forma rápida de lembrar.

Resposta

x_{10}=127

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