Nos exercícios a seguir encontre os pontos críticos de cada função e determine se ele é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela.
10. f(x, y)=e^x y

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de f(x,y)=e^{xy} e classificar cada ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais e o teste com a matriz Hessiana para funções de duas variáveis.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Como f(x,y)=e^{xy}, temos:
partial fpartial x=y,e^xy,
partial fpartial y=x,e^xy

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
y,e^xy=0 e x,e^xy=0
Como e^{xy}>0 para todo (x,y), devemos ter y=0 e x=0 simultaneamente. Logo, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem para formar a matriz Hessiana:
partial^2 fpartial x^2=y^2,e^xy,
partial^2 fpartial xpartial y=(1+xy),e^xy,
partial^2 fpartial y^2=x^2,e^xy

Passo 5

Avaliamo-las em (0,0):
partial^2 fpartial x^2(0,0)=0,
partial^2 fpartial xpartial y(0,0)=1,
partial^2 fpartial y^2(0,0)=0
A matriz Hessiana em (0,0) é H= 0 & 11 & 0, cujo determinante é det(H) = 0·0–1·1 = –1 < 0. No teste da segunda derivada para funções de duas variáveis, determinante negativo indica ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0) e ele é um ponto de sela.

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