Nos exercícios a seguir encontre os pontos críticos de cada função e determine se ele é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela.
10.
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Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de f(x,y)=e^{xy} e classificar cada ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais e o teste com a matriz Hessiana para funções de duas variáveis.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Como f(x,y)=e^{xy}, temos:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Como e^{xy}>0 para todo (x,y), devemos ter y=0 e x=0 simultaneamente. Logo, o único ponto crítico é (0,0).
Passo 4
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem para formar a matriz Hessiana:
Passo 5
Avaliamo-las em (0,0):
A matriz Hessiana em (0,0) é H=
, cujo determinante é det(H) = 0·0–1·1 = –1 < 0. No teste da segunda derivada para funções de duas variáveis, determinante negativo indica ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é (0,0) e ele é um ponto de sela.