Nos exercícios a seguir calcule partial zpartial u, partial zpartial v
z=4x y-xy, x=u^2, y=u v

Passo 1

O enunciado dá a função z em termos de x e y, que por sua vez são dadas em termos de u e v. Precisamos calcular as derivadas parciais partial zpartial u e partial zpartial v usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, tratamos z como função de x e y e calculamos suas derivadas parciais:
z=4xy-xy
Derivando em relação a x (mantendo y constante):
partial zpartial x=-4x^2y-1y
Derivando em relação a y (mantendo x constante):
partial zpartial y=-4xy^2+xy^2.

Passo 3

Em seguida calculamos as derivadas de x e y em relação a u e v, já que x=u^2 e y=uv:
partial xpartial u=2u, partial xpartial v=0, partial ypartial u=v, partial ypartial v=u

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia:
partial zpartial u=partial zpartial xpartial xpartial u+partial zpartial ypartial ypartial u, partial zpartial v=partial zpartial xpartial xpartial v+partial zpartial ypartial ypartial v
Substituindo os resultados anteriores e simplificando, obtemos as expressões em termos de u e v.

Passo 5

Por fim, voltando x=u^2 e y=uv e combinando termos, chegamos aos resultados simplificados para as derivadas parciais.

Resposta

partial zpartial u=-12u^4v-1v, partial zpartial v=uv^2-4u^3v^2

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