Nos exercícios a seguir calcule partial zpartial u, partial zpartial v

Passo 1

O enunciado dá uma função de duas variáveis intermediárias e pede as derivadas parciais de uma função composta. O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Vamos precisar de:\
z = lnl(x^2 - y^2r), x = u - v, y = u^2 + v^2

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como z = ln(w) com w = x^2 - y^2, temos partial z/partial w = 1/w. Além disso:
partial wpartial x = 2x, partial wpartial y = -2y
Logo:
partial zpartial x = 2xx^2 - y^2, partial zpartial y = -2yx^2 - y^2

Passo 3

Agora achamos as derivadas de x e y em relação a u e v. Como x = u - v e y = u^2 + v^2:
partial xpartial u = 1, partial xpartial v = -1,
partial ypartial u = 2u, partial ypartial v = 2v

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia:
partial zpartial u = partial zpartial xpartial xpartial u + partial zpartial ypartial ypartial u = 2xx^2 - y^2cdot1 + -2yx^2 - y^2cdot2u = 2x - 4u,yx^2 - y^2,
partial zpartial v = partial zpartial xpartial xpartial v + partial zpartial ypartial ypartial v = 2xx^2 - y^2cdot(-1) + -2yx^2 - y^2cdot2v = -2x - 4v,yx^2 - y^2

Passo 5

Por fim, substituímos x = u - v e y = u^2 + v^2 para obter as derivadas em função de u,v.

Resposta

partial zpartial u = 2(u - v) - 4u,(u^2 + v^2)(u - v)^2 - (u^2 + v^2)^2, partial zpartial v = -2(u - v) - 4v,(u^2 + v^2)(u - v)^2 - (u^2 + v^2)^2

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