Nos exercícios a seguir dado
com
, calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
e
usando a regra da cadeia, onde
e
O conteúdo principal é derivada de função composta e vamos precisar da regra da cadeia para múltiplas variáveis.
O conteúdo principal é derivada de função composta e vamos precisar da regra da cadeia para múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de
em relação a
. Como
temos
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Aplicamos a regra da cadeia para
:
No numerador temos
$$2z\frac{v}{\sqrt{uv}} = 2\bigl(2\sqrt{uv}\bigr)\frac{v}{\sqrt{uv}} =4v,
$$
logo o numerador é .
logo o numerador é
Passo 5
Agora notamos que
então
$$x2+y2+z^2 = 2u2+2v2+4uv = 2(u+v)^2.
\frac{\partial w}{\partial u} = \frac{4(u+v)}{2(u+v)^2} = \frac{2}{u+v}.
$$
Passo 6
Para
usamos o mesmo procedimento:
Calculando o numerador:
portanto de novo
$$
\frac{\partial w}{\partial v} = \frac{4(u+v)}{2(u+v)^2} = \frac{2}{u+v}.
$$