Nos exercícios a seguir dado w=w(x, y, z) com x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v), calcule partial wpartial u e partial wpartial v

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais partial w/partial u e partial w/partial v usando a regra da cadeia, onde
w = ln(x^2+y^2+z^2) e
x = u - v,; y = u + v,; z = 2raizuv
O conteúdo principal é derivada de função composta e vamos precisar da regra da cadeia para múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, encontramos as derivadas parciais de w em relação a x,y,z. Como
w = ln( x^2 + y^2 + z^2 ),
temos
wx = 2xx^2+y^2+z^2, wy = 2yx^2+y^2+z^2, wz = 2zx^2+y^2+z^2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de x,y,z em relação a u e v:
xu = 1,; yu = 1,; zu = 2partialpartial u(raizuv) = 2 cdot v2raizuv = vraizuv,
xv = -1,; yv = 1,; zv = 2 cdot u2raizuv = uraizuv

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para partial w/partial u:
partial wpartial u = wx xu + wy yu + wz zu = 2xcdot1 + 2ycdot1 + 2zcdottfracvraizuvx^2+y^2+z^2
No numerador temos
2x + 2y = 2(x+y) = 2l((u-v)+(u+v)r)=4u,
$$2z\frac{v}{\sqrt{uv}} = 2\bigl(2\sqrt{uv}\bigr)\frac{v}{\sqrt{uv}} =4v,
$$
logo o numerador é 2zvraizuv = 2l(2raizuvr)vraizuv =4v, .

Passo 5

Agora notamos que
x^2+y^2 = (u-v)^2+(u+v)^2 = 2u^2+2v^2,
z^2 = 4uv,
então
$$x2+y2+z^2 = 2u2+2v2+4uv = 2(u+v)^2.
x^2+y^2+z^2 = 2u^2+2v^2+4uv = 2(u+v)^2
\frac{\partial w}{\partial u} = \frac{4(u+v)}{2(u+v)^2} = \frac{2}{u+v}.
$$

Passo 6

Para partial w/partial v usamos o mesmo procedimento:
partial wpartial v = wx xv + wy yv + wz zv = 2x(-1) +2y(1) +2ztfracuraizuvx^2+y^2+z^2
Calculando o numerador:
2y-2x = 2(y-x)=2((u+v)-(u-v))=4v,
2zuraizuv=4u,
portanto de novo 4(u+v) no numerador e o mesmo denominador 2(u+v)^2), resultando
$$
\frac{\partial w}{\partial v} = \frac{4(u+v)}{2(u+v)^2} = \frac{2}{u+v}.
$$

Resposta

partial wpartial u = 2u+v, partial wpartial v = 2u+v

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