Nos exercícios a seguir considere
\vec{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e \rho_{a g}=1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
Seja o campo de velocidades
\vec{V}=2 y \hat{i}-3 t \hat{j}, calcule a função y(x) que descreve as linhas de corrente no instante t=1 e mostre que a função y(x) que descreve a trajetória de uma partícula que está no ponto (2 ; 1) em t=1 é diferente da função das linhas de corrente.

Passo 1

O enunciado fornece o campo de velocidades
\vec{V}(x,y,t)=2\,y\,\hat{\imath}-3\,t\,\hat{\jmath}
e pede duas coisas:
  1. As linhas de corrente no instante t=1, definidas pelas curvas y(x) cujas tangentes estão alinhadas a \vec V em t=1.
  2. A trajetória de uma partícula que passa por (x,y)=(2,1) em t=1, isto é, resolver as EDOs paramétricas dx/dt=2y, dy/dt=-3t com condição inicial (x(1),y(1))=(2,1), e mostrar que essa curva y(x) difere da das linhas de corrente.
Conteúdo: → linhas de corrente (curvas de nível das direções do campo num instante fixo) e trajetórias (integrais do campo no tempo).

Passo 2

Definição de linha de corrente em instante fixo t_0:
\frac{dy}{dx}=\frac{v(x,y,t_0)}{u(x,y,t_0)}.
Em t_0=1, temos u=2y e v=-3, logo
\frac{dy}{dx}=\frac{-3}{2y}.
Separamos e integramos:
2y\,dy=-3\,dx \quad\Longrightarrow\quad \int 2y\,dy=\int -3\,dx \quad\Longrightarrow\quad y^2=-3x+C.
Portanto a família de linhas de corrente em t=1 é
y^2+3x=C,
ou, isolando,
y(x)=\pm\sqrt{C-3x}.

Passo 3

Para a trajetória de uma partícula resolvemos o sistema paramétrico
\frac{dy}{dt}=-3t, \qquad \frac{dx}{dt}=2y.
  1. Integramos \,dy/dt=-3t:
y(t)=-\frac{3}{2}\,t^2 + C_1.
Como y(1)=1, temos
1=-\frac{3}{2}\cdot1^2 +C_1 \quad\Longrightarrow\quad C_1=\frac{5}{2},
logo
y(t)=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}\,t^2.
  1. Substituímos em dx/dt=2y:
\frac{dx}{dt}=2\Bigl(\frac{5}{2}-\frac{3}{2}\,t^2\Bigr)=-3t^2+5.
Integrando,
x(t)=-t^3+5t + C_2.
Como x(1)=2,
2=-1+5+C_2 \quad\Longrightarrow\quad C_2=-2,
logo
x(t)=-t^3+5t-2.
Essas são as equações paramétricas da trajetória que passa por (2,1) em t=1.

Passo 4

Para comparar com as linhas de corrente, note que numa linha de corrente y^2+3x é constante (independe de t). Já na trajetória substituímos x(t) e y(t) em
y^2+3x \;=\;\Bigl(\tfrac{5}{2}-\tfrac{3}{2}t^2\Bigr)^2 +3\bigl(-t^3+5t-2\bigr),
e obtemos uma expressão que depende de t (não é constante). Portanto a curva temporal y(x) da partícula é distinta da curva fixa y^2+3x=C.

Resposta

Linha de corrente em t=1:
y^2+3x=C, \quad y(x)=\pm\sqrt{C-3x}.
Trajetória da partícula com (x,y)=(2,1) em t=1:
y(t)=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}t^2, \quad x(t)=-t^3+5t-2,
que não satisfaz y^2+3x= constante, logo é diferente da linha de corrente.

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