Nos exercícios a seguir considere
e
.
Seja o campo de velocidades
, calcule a função
que descreve as linhas de corrente no instante
e mostre que a função
que descreve a trajetória de uma partícula que está no ponto
em
é diferente da função das linhas de corrente.
Seja o campo de velocidades
Passo 1
O enunciado fornece o campo de velocidades
e pede duas coisas:
- As linhas de corrente no instante
, definidas pelas curvas cujas tangentes estão alinhadas a em . - A trajetória de uma partícula que passa por
em , isto é, resolver as EDOs paramétricas , com condição inicial , e mostrar que essa curva difere da das linhas de corrente.
Conteúdo: → linhas de corrente (curvas de nível das direções do campo num instante fixo) e trajetórias (integrais do campo no tempo).
Passo 2
Definição de linha de corrente em instante fixo
:
Em
, temos
e
, logo
Separamos e integramos:
Portanto a família de linhas de corrente em
é
ou, isolando,
Passo 3
Para a trajetória de uma partícula resolvemos o sistema paramétrico
- Integramos
:
Como
, temos
logo
- Substituímos em
:
Integrando,
Como
,
logo
Essas são as equações paramétricas da trajetória que passa por
em
.
Passo 4
Para comparar com as linhas de corrente, note que numa linha de corrente
é constante (independe de
). Já na trajetória substituímos
e
em
e obtemos uma expressão que depende de
(não é constante). Portanto a curva temporal
da partícula é distinta da curva fixa
.
Resposta
Linha de corrente em
:
Trajetória da partícula com
em
:
que não satisfaz
constante, logo é diferente da linha de corrente.