(2,0 pts) Uma esfera de aço, com \mathbf{5 , 0 c m} de diâmetro interno e \mathbf{7 , 6 c m} de diâmetro externo, tendo k=15,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, está recoberto por uma camada isolante de espessura e=4,0 \mathrm{~cm} e k=0,2 W/mK. Um gás, aquecido a \mathrm{T}_{\mathrm{g}}=330,0{ }^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{h}_{\mathrm{g}}=400,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, flui no interior do tubo. A superficie externa do isolante está exposta ao ar mais frio a T_{a r}=30,0{ }^{\circ} \mathrm{C} com h_{a r}=60,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Calcule a perda de calor da esfera para o ar.

Passo 1

O enunciado trata de transferência de calor em regime permanente através de quatro resistências térmicas em série numa esfera: convecção interna (gás para parede interna de raio r_i), condução através da parede de aço (de raio r_i até r_1), condução pelo isolante (de r_1 até r_o) e convecção externa (de r_o para o ar). Os dados são: \displaystyle r_i=\tfrac{5{,}0\text{ cm}}{2}=0{,}025\text{ m},\quad r_1=\tfrac{7{,}6\text{ cm}}{2}=0{,}038\text{ m},\quad r_o=r_1+e=0{,}038+0{,}04=0{,}078\text{ m}. \displaystyle h_g=400{,}0\\ \mathrm{W/m^2K},\\ k_{\rm aço}=15{,}0\\ \mathrm{W/mK},\\ k_{\rm iso}=0{,}2\\ \mathrm{W/mK},\\ h_{ar}=60{,}0\\ \mathrm{W/m^2K},\\ T_g=330{,}0\,^\circ\mathrm{C},\\ T_{ar}=30{,}0\,^\circ\mathrm{C}.ç

Passo 2

Calcular a resistência de convecção interna
R_{\rm conv,i}=\frac{1}{h_g\,A_i} \quad\text{com}\quad A_i=4\pi r_i^2=4\pi(0{,}025)^2\approx0{,}007854\\ \mathrm{m^2}.
Logo
R_{\rm conv,i}=\frac{1}{400\cdot0{,}007854}\approx0{,}3183\\ \mathrm{K/W}.

Passo 3

Calcular a resistência de condução na parede de aço
R_{\rm cond, aço} =\frac{1}{4\pi k_{\rm aço}}\Bigl(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_1}\Bigr) =\frac{1}{4\pi\cdot15}\bigl(40-26{,}3158\bigr) \approx0{,}0726\\ \mathrm{K/W}.çç

Passo 4

Calcular a resistência de condução no isolante
R_{\rm cond, iso} =\frac{1}{4\pi k_{\rm iso}}\Bigl(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_o}\Bigr) =\frac{1}{4\pi\cdot0{,}2}\bigl(26{,}3158-12{,}8205\bigr) \approx5{,}370\\ \mathrm{K/W}.

Passo 5

Calcular a resistência de convecção externa
R_{\rm conv,o}=\frac{1}{h_{ar}\,A_o} \quad\text{com}\quad A_o=4\pi r_o^2=4\pi(0{,}078)^2\approx0{,}07648\\ \mathrm{m^2}.
Logo
R_{\rm conv,o}=\frac{1}{60\cdot0{,}07648}\approx0{,}2179\\ \mathrm{K/W}.

Passo 6

Somar todas as resistências e calcular a perda de calor
R_{\rm total} =R_{\rm conv,i}+R_{\rm cond, aço}+R_{\rm cond, iso}+R_{\rm conv,o} \approx0{,}3183+0{,}0726+5{,}370+0{,}2179=5{,}9788\\ \mathrm{K/W}.ç
A diferença de temperatura é \Delta T=T_g-T_{ar}=330-30=300\\ \mathrm{K}.
Logo
\dot Q=\frac{\Delta T}{R_{\rm total}} =\frac{300}{5{,}9788}\approx50{,}2\\ \mathrm{W}.

Resposta

A perda de calor da esfera para o ar é aproximadamente 50{,}2\\ \mathrm{W}.

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