Nos exercícios a seguir dado w=w(x, y, z) com x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v), calcule partial wpartial u e partial wpartial v
w=raizx^2+y^2+z^2, x=3 e^v sin u, y=3 e^v cos u, z=4 e^v

Passo 1

O enunciado nos dá a função composta w = raizx^2 + y^2 + z^2, com as variáveis internas definidas por x = 3e^vsin u, y = 3e^vcos u e z = 4e^v. O conteúdo é derivada parcial de função composta, e vamos precisar usar a regra da cadeia para múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de w em relação a x,y,z. Como w = (x^2+y^2+z^2)^1/2, temos
partial wpartial x = xraizx^2+y^2+z^2, partial wpartial y = yraizx^2+y^2+z^2, partial wpartial z = zraizx^2+y^2+z^2

Passo 3

A regra da cadeia para funções de duas variáveis diz que
partial wpartial u = partial wpartial xpartial xpartial u + partial wpartial ypartial ypartial u + partial wpartial zpartial zpartial u,
partial wpartial v = partial wpartial xpartial xpartial v + partial wpartial ypartial ypartial v + partial wpartial zpartial zpartial v

Passo 4

Agora achamos as derivadas de x,y,z em relação a u:
partial xpartial u = 3e^vcos u, partial ypartial u = -3e^vsin u, partial zpartial u = 0

Passo 5

Em seguida, as derivadas em relação a v:
partial xpartial v = 3e^vsin u, partial ypartial v = 3e^vcos u, partial zpartial v = 4e^v

Passo 6

Usando a regra da cadeia para partial w/partial u:
partial wpartial u = xwcdot(3e^vcos u) + ywcdot(-3e^vsin u) + zwcdot0
Mas
x,(3e^vcos u) + y,(-3e^vsin u) = 9e^2v(sin ucos u - cos usin u) = 0,
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partial wpartial u = 0

Passo 7

Agora para partial w/partial v:
partial wpartial v = xwcdot(3e^vsin u) + ywcdot(3e^vcos u) + zwcdot(4e^v)
O numerador é
x,(3e^vsin u) + y,(3e^vcos u) + z,(4e^v) = 9e^2v(sin^2u+cos^2u) + 16e^2v = 25e^2v
Como w = raiz25e^2v = 5e^v, temos
partial wpartial v = 25e^2v5e^v = 5e^v

Resposta

As derivadas são partial wpartial u = 0 e partial wpartial v = 5e^v.

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