Use as técnicas apresentadas em aula para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
14.5+15.6+ldots+1(n+3)(n+4)+ldots

Passo 1

O enunciado pede pra checar se a série sumn=1^infty 1(n+3)(n+4) converge ou diverge. Esse assunto é sobre séries numéricas e a gente vai usar decomposição em frações parciais pra transformar em uma soma telescópica.

Passo 2

Decompondo o termo geral em frações parciais escrevemos
1(n+3)(n+4)=An+3+Bn+4
Para todo n vale
1=A(n+4)+B(n+3)= (A+B)n + (4A+3B)
Equacionando coeficientes: A+B=0 e 4A+3B=1 leva a A=1, B=-1. Logo
1(n+3)(n+4)=1n+3-1n+4

Passo 3

Somando os N primeiros termos temos a soma parcial
SN=sumn=1^Nl(1n+3-1n+4r) =l(tfrac14-tfrac15r)+l(tfrac15-tfrac16r)+cdots+l(tfrac1N+3-tfrac1N+4r) =14-1N+4

Passo 4

Agora é só tomar o limite quando Ntoinfty:
limNtoinftySN=14-0=14
Isso mostra que a série converge e o valor da soma é tfrac14.

Resposta

A série converge e seu valor é tfrac14.

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