Resolva os PVI’s (miscelânia).
l(3 x^2 y+2 x y+y^3) d x+(x^2+y^2) d y=0 y(0)=pi

Passo 1

O enunciado dá o PVI
l(3x^2y+2xy+y^3r),dx+l(x^2+y^2r),dy=0, y(0)=pi
e pede solução de uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos verificar se é exata e, não sendo, encontrar um fator integrante de x para torná-la exata.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=3x^2y+2xy+y^3, N(x,y)=x^2+y^2
Calculamos
partial Mpartial y=3x^2+2x+3y^2, partial Npartial x=2x
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Para achar um fator integrante mu(x) dependente só de x, usamos
partial M/partial y-partial N/partial xN =(3x^2+2x+3y^2)-2xx^2+y^2 =3x^2+3y^2x^2+y^2 =3,
que é função apenas de x (no caso, constante). Logo
mu(x)=expl(integral 3,dxr)=e^3x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por e^3x, obtendo
M^*(x,y),dx+N^*(x,y),dy=0,
com
M^*=e^3x(3x^2y+2xy+y^3), N^*=e^3x(x^2+y^2)

Passo 5

Verificamos exatidão de M^*,dx+N^*,dy:
partial M^*partial y =e^3x(3x^2+2x+3y^2), partial N^*partial x =e^3xl(3(x^2+y^2)+2xr) =e^3x(3x^2+3y^2+2x),
logo são iguais e a equação é exata.

Passo 6

Buscamos função potencial psi(x,y) tal que
psix=M^*. Integrando em x:
psi(x,y)=integral e^3x(3x^2y+2xy+y^3),dx =yintegral e^3x(3x^2+2x),dx +y^3integral e^3x,dx
Como
dfracddx(x^2e^3x)=e^3x(3x^2+2x) e integral e^3x,dx=tfrac13e^3x, temos
psi(x,y)=x^2y,e^3x+y^33e^3x+h(y)

Passo 7

Impondo psiy=N^*:
psiy =x^2e^3x+y^2e^3x+h'(y) overset!=e^3x(x^2+y^2)
h'(y)=0, logo h é constante.

Passo 8

A solução geral implícita é
x^2y,e^3x+y^33e^3x=C
Usando y(0)=pi:
0+pi^33,e^0=C Rightarrow C=pi^33

Resposta

e^3xl(x^2y+tfracy^33r)=pi^33

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