Resolva os PVI’s (miscelânia).
Passo 1
O enunciado dá o PVI
e pede solução de uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos verificar se é exata e, não sendo, encontrar um fator integrante de
para torná-la exata.
Passo 2
Definimos
Calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Para achar um fator integrante
dependente só de
, usamos
que é função apenas de
(no caso, constante). Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
com
Passo 5
Verificamos exatidão de
:
logo são iguais e a equação é exata.
Passo 6
Buscamos função potencial
tal que
. Integrando em
:
Como
e
, temos
Passo 7
Impondo
:
dá
, logo
é constante.
Passo 8
A solução geral implícita é
Usando
: