6 Use diferenciais para obter uma aproximação da variação de f(x, y, z)=x^2 z^3-3 y z^2+x^-3+2 y^12 z quando (x, y, z) varia de (1,4,2) a (1,02 ; 3,97 ; 1,96).

Passo 1

Temos a função de três variáveis f(x,y,z)=x^2z^3-3yz^2+x^-3+2y^1/2z. O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivadas parciais e diferenciais para aproximar a variação de f quando (x,y,z) passa de (1,4,2) para (1,02,3,97,1,96).

Passo 2

As pequenas variações são
De
O diferencial total de f é dado por
df=fx,dx+fy,dy+fz,dz

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais gerais:
fx=2x z^3-3x^-4,
fy=-3z^2+ddy(2y^1/2z)=-3z^2+y^-1/2z,
fz=3x^2z^2-6yz+2y^1/2

Passo 4

Agora avaliamos em (1,4,2):
fx(1,4,2)=2cdot1cdot2^3-3cdot1^-4=16-3=13,
fy(1,4,2)=-3cdot2^2+1raiz4cdot2=-12+1=-11,
fz(1,4,2)=3cdot1^2cdot2^2-6cdot4cdot2+2raiz4=12-48+4=-32

Passo 5

Substituindo em df e usando dx=De, etc., temos:
df=13cdot0,02+(-11)cdot(-0,03)+(-32)cdot(-0,04)=0,26+0,33+1,28=1,87

Resposta

A variação aproximada de f é 1,87.

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