Use a transformada de Laplace para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando transformada de Laplace. O conteúdo aqui envolve transformadas de Laplace e, em particular, o teorema que relaciona integrais do tipo
com a transformada
. Vamos usar esse resultado para resolver a integral.
Passo 2
Começamos apresentando o teorema fundamental: se
, então vale
No nosso caso,
e
, logo
Passo 3
Agora calculamos
. Usamos a identidade
:
Passo 4
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Para calcular
fazemos frações parciais. Escrevemos
Igualando numeradores achamos
e
. Assim
Integrando:
Passo 6
Aplicamos os limites de 1 a
. Quando
tem-se
.
Em fica
.
Subtraindo, o valor da integral é
Em
Subtraindo, o valor da integral é