Use a transformada de Laplace para calcular as integrais abaixo:
integral0^infty e^-t sen^2 tt d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^infty e^-t,sin^2ttdt usando transformada de Laplace. O conteúdo aqui envolve transformadas de Laplace e, em particular, o teorema que relaciona integrais do tipo integral0^infty e^-st,f(t)tdt com a transformada F(s)=Lf(t)(s). Vamos usar esse resultado para resolver a integral.

Passo 2

Começamos apresentando o teorema fundamental: se F(s)=Lf(t)(s), então vale
integral0^infty e^-st,f(t)tdt ,=,integrals^infty F(u),du
No nosso caso, s=1 e f(t)=sin^2t, logo
integral0^infty e^-t,sin^2ttdt = integral1^infty F(u),du

Passo 3

Agora calculamos F(s)=Lsin^2t(s). Usamos a identidade sin^2t=tfrac1-cos(2t)2:
F(s)=integral0^infty e^-stsin^2t,dt = 12l(1s-ss^2+4r) =2s(s^2+4)

Passo 4

Substituindo em integral1^inftyF(u)du obtemos
integral0^infty e^-t,sin^2ttdt = integral1^infty 2u(u^2+4),du

Passo 5

Para calcular integral 2u(u^2+4)du fazemos frações parciais. Escrevemos
2u(u^2+4) = Au + Buu^2+4
Igualando numeradores achamos A=1/4 e B=-1/4. Assim
2u(u^2+4) = 1/4u - 1/4,uu^2+4
Integrando:
integral 2u(u^2+4)du = 14ln|u| - 18ln(u^2+4) + C

Passo 6

Aplicamos os limites de 1 a infty. Quando utoinfty tem-se
14ln u - 18ln(u^2+4)to0.
Em u=1 fica
14ln1 - 18ln5 = -18ln5.
Subtraindo, o valor da integral é
0 - l(-18ln5r) = 18ln5 = 14ln5

Resposta

14ln 5

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