Nos exercícios a seguir use a regra da cadeia para calcular d zd t, d wd t
z=raiz2 x-4 y, x=ln t, y=1-3 t^2

Passo 1

A questão dá a função composta z = raiz2x - 4y, onde x = ln t e y = 1 - 3t^2. Vamos usar a regra da cadeia para encontrar dzdt.

Passo 2

Primeiro, é útil reescrever z em potência: z = (2x - 4y)^tfrac12. Com isso em mente, quando derivamos, a regra da cadeia diz que: derivada de u^1/2 é tfrac12 u^-1/2 vezes a derivada de u. Aqui u = 2x - 4y.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = ddt(ln t) = 1t,
dydt = ddt(1 - 3t^2) = -6t

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia em z = (2x - 4y)^1/2, temos:
dzdt = 12 (2x - 4y)^-1/2 cdot ddt(2x - 4y)
E
ddt(2x - 4y) = 2dxdt - 4dydt = 2cdot1t - 4cdot(-6t) = 2t + 24t

Passo 5

Substituindo de volta em dz/dt e simplificando o fator 2 no numerador e denominador, obtemos:
dzdt = 12raiz2x - 4yl(2t + 24tr) = 1/t + 12traiz2x - 4y
Por fim, lembrando que 2x - 4y = 2ln t - 4(1 - 3t^2) = 2ln t - 4 + 12t^2, temos a forma final.
A resposta final fica mais limpa escrevendo tudo em função de t.

Resposta

dzdt = 1/t + 12traiz2ln t - 4 + 12t^2

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