Nos exercícios a seguir use o teorema de Green para calcular as integrais de linha \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \gamma é orientada no sentido anti-horário.
\vec{F}(x, y)=y \vec{i}+3 x \vec{j} onde \gamma é o círculo x^{2}+y^{2}= 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r
onde \vec F(x,y)=y\,\vec i+3x\,\vec j e \gamma é o círculo x^2+y^2=4 orientado anti-horário.
O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que converte a integral de linha numa integral dupla sobre a região interna D ao círculo.

Passo 2

Identificamos as componentes de \vec F:
P(x,y)=y, \qquad Q(x,y)=3x.
Calculamos então as derivadas parciais que entram no Teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}=3, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=1.

Passo 3

Pelo Teorema de Green vale
\oint_{\gamma}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA =\iint_{D}(3-1)\,dA =\iint_{D}2\,dA.

Passo 4

A região D é o disco de raio 2, cuja área é
\iint_{D}dA =\pi\cdot2^{2} =4\pi.
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\iint_{D}2\,dA =2\cdot4\pi =8\pi.

Resposta

\;8\pi

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