Use o teorema de Green para calcular a integral de linha. Assuma que cada curva é orientada no sentido anti-horário.
\int_{\gamma}\left(\cos ^{3} x+e^{x}\right) d x+e^{y} d y onde \gamma é o gráfico de x^{6}+y^{8}=1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\int_{\gamma}\bigl(\cos^{3}x + e^{x}\bigr)\,dx + e^{y}\,dy
onde \gamma é a curva fechada dada por x^{6}+y^{8}=1, orientada no sentido anti-horário.
O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que transforma a integral de linha num duplo integral sobre a região D interior a \gamma.

Passo 2

Identificamos as funções
P(x,y) = \cos^{3}x + e^{x}, \quad Q(x,y) = e^{y}.
Pelo Teorema de Green:
\oint_{\gamma}P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\bigl(\partial_x Q - \partial_y P\bigr)\,dA.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\partial_x Q(x,y) = \partial_x\bigl(e^{y}\bigr) = 0, \qquad \partial_y P(x,y) = \partial_y\bigl(\cos^{3}x + e^{x}\bigr) = 0.

Passo 4

Logo o integrando do duplo integral é
\partial_x Q - \partial_y P = 0 - 0 = 0.
Portanto
\iint_{D}0\,dA = 0,
e assim a integral de linha vale zero.

Resposta

0

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