Nos exercícios a seguir use o teorema de Green para calcular as integrais de linha
, onde
é orientada no sentido anti-horário.
onde
é composta do semi-círculo
e a linha
com
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é o contorno, orientado anti-horário, da região superior do disco de raio
(ou seja, o semi-círculo
,
, mais a reta
,
). Vamos usar o Teorema de Green, que converte a integral de linha em integral dupla sobre a região interior.
Passo 2
No Teorema de Green, temos
onde
e
. Vamos encontrar as derivadas parciais:
Passo 3
Calcular
Logo, o integrando é
Passo 4
Como o integrando é zero em toda a região
(o semi-disco de raio
), a integral dupla também é zero: