Nos exercícios a seguir use o teorema de Green para calcular as integrais de linha \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \gamma é orientada no sentido anti-horário.
\vec{F}(x, y)=y \sin x \vec{i}-\cos x \vec{j} onde \gamma é composta do semi-círculo x^{2}+y^{2}=9 \operatorname{com} y \geq 0 e a linha y=0 com -3 \leq x \leq 3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}
onde \vec{F}(x,y) = y\sin x\,\vec{i} - \cos x\,\vec{j} e \gamma é o contorno, orientado anti-horário, da região superior do disco de raio 3 (ou seja, o semi-círculo x^2+y^2=9, y\ge0, mais a reta y=0, -3\le x\le3). Vamos usar o Teorema de Green, que converte a integral de linha em integral dupla sobre a região interior.

Passo 2

No Teorema de Green, temos
\int_{\gamma}P\,dx + Q\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde P(x,y)=y\sin x e Q(x,y)=-\cos x. Vamos encontrar as derivadas parciais:

Passo 3

Calcular
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(-\cos x) =\sin x,
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(y\sin x) =\sin x.
Logo, o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\sin x-\sin x =0.

Passo 4

Como o integrando é zero em toda a região D (o semi-disco de raio 3), a integral dupla também é zero:
\iint_{D}0\,dA = 0.

Resposta

0

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