Utilize o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e um disco ou anel típicos.
em torno do eixo
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região comum às curvas
e
em torno do eixo
, usando o método das seções transversais (discos/anéis). Para isso vamos:
- Encontrar os limites de
. - Expressar os raios interno e externo em função de
. - Montar e calcular a integral.
Passo 2
Determinar os pontos de interseção das curvas:
Para
, a parábola
fica mais próxima do eixo
e a reta
fica mais afastada.
Passo 3
Ao rotacionar em torno de
, obtemos um anel de:
– raio externo ,
– raio interno .
A área de cada seção é
– raio externo
– raio interno
A área de cada seção é
Passo 4
O volume é
Calcule separadamente:
Passo 5
Substituindo,