Utilize o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e um disco ou anel típicos.
y^2=x, x=2 y ; em torno do eixo y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região comum às curvas x=y^2 e x=2y em torno do eixo y, usando o método das seções transversais (discos/anéis). Para isso vamos:
  1. Encontrar os limites de y.
  2. Expressar os raios interno e externo em função de y.
  3. Montar e calcular a integral.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção das curvas:
y^2 = 2y Longrightarrow y(y - 2) = 0 Longrightarrow y = 0 ou y = 2
Para 0 <= y <= 2, a parábola x=y^2 fica mais próxima do eixo y e a reta x=2y fica mais afastada.

Passo 3

Ao rotacionar em torno de y, obtemos um anel de:
– raio externo R(y) = xreta = 2y,
– raio interno r(y) = xparábola = y^2á.
A área de cada seção é
A(y) = pil[R(y)^2 - r(y)^2r] = pil[(2y)^2 - (y^2)^2r] = pil[4y^2 - y^4r]

Passo 4

O volume é
V = integraly=0^2 A(y),dy = integral0^2 pil[4y^2 - y^4r],dy
Calcule separadamente:
integral0^24y^2,dy = 4y^33|0^2 = 323, integral0^2y^4,dy = y^55|0^2 = 325

Passo 5

Substituindo,
V = pil(323 - 325r) = pi160 - 9615 = 64pi15

Resposta

V = 64pi15

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