Nos Exercícios 1 e 2, suponha um nível de significância
para testar a afirmação de que
. Com os tamanhos de amostra e os números de sucessos dados, determine (a) a estimativa combinada
, (b) a estatística de teste
os valores críticos
valor
.
- Amostra 1 Amostra 2
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de teste de hipóteses para proporções. A gente tem duas amostras:
- Amostra 1: tamanho $ n_1 = 50 $ e número de sucessos $ x_1 = 25 $
- Amostra 2: tamanho $ n_2 = 100 $ e número de sucessos $ x_2 = 55 $
Queremos testar se as proporções $ p_1 $ e $ p_2 $ são iguais, usando um nível de significância $ \alpha = 0,05 $. Para isso, vamos precisar calcular:
a) A estimativa combinada $ \bar{p} $
b) A estatística de teste $ z $
c) Os valores críticos $ z_{crítico} $
d) O valor $ P $
Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a estimativa combinada $ \bar{p} $. Essa estimativa representa a proporção geral de sucessos nas duas amostras juntas.
A fórmula é:
Vamos substituir os valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular a estatística de teste $ z $. Essa estatística nos ajuda a determinar se a diferença entre as proporções das amostras é significativa.
A fórmula para $ z $ é:
Primeiro, precisamos encontrar $ p_1 $ e $ p_2 $:
Agora, substituímos na fórmula do $ z $:
Vamos calcular o denominador passo a passo:
Agora, o $ z $:
Passo 4
Vamos determinar os valores críticos $ z_{crítico} $ para um teste bilateral com nível de significância $ \alpha = 0,05 $.
Em um teste bilateral, dividimos $ \alpha $ em duas partes iguais para os lados esquerdo e direito da distribuição normal.
Os valores críticos são encontrados usando tabelas de distribuição normal ou calculadoras:
Passo 5
Por fim, vamos calcular o valor $ P $, que representa a probabilidade de obtermos um resultado tão extremo quanto o observado, assumindo que a hipótese nula é verdadeira.
Como nosso $ z $ calculado é aproximadamente -0,579, vamos encontrar o valor $ P $:
Usando uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora, encontramos que:
Resposta
a) Estimativa combinada $ \bar{p} \approx 0,5333 $
b) Estatística de teste $ z \approx -0,579 $
c) Valores críticos $ z_{crítico} = \pm 1,96 $
d) Valor $ P \approx 0,562 $