Nos Exercícios 1 e 2, suponha um nível de significância alpha=0,05 para testar a afirmação de que p1=p2. Com os tamanhos de amostra e os números de sucessos dados, determine (a) a estimativa combinada barp, (b) a estatística de teste z,(c) os valores críticos z, e(d) o valor P.
  1. Amostra 1 Amostra 2
ll n1=50 & n2=100 x1=25 & x2=55

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de teste de hipóteses para proporções. A gente tem duas amostras:
  • Amostra 1: tamanho $ n_1 = 50 $ e número de sucessos $ x_1 = 25 $
  • Amostra 2: tamanho $ n_2 = 100 $ e número de sucessos $ x_2 = 55 $
Queremos testar se as proporções $ p_1 $ e $ p_2 $ são iguais, usando um nível de significância $ \alpha = 0,05 $. Para isso, vamos precisar calcular:
a) A estimativa combinada $ \bar{p} $
b) A estatística de teste $ z $
c) Os valores críticos $ z_{crítico} $
d) O valor $ P $
Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a estimativa combinada $ \bar{p} $. Essa estimativa representa a proporção geral de sucessos nas duas amostras juntas.
A fórmula é:
barp
Vamos substituir os valores:
barp = x1 + x2n1 + n2

Passo 3

Agora, vamos calcular a estatística de teste $ z $. Essa estatística nos ajuda a determinar se a diferença entre as proporções das amostras é significativa.
A fórmula para $ z $ é:
z
Primeiro, precisamos encontrar $ p_1 $ e $ p_2 $:
z
z = p1 - p2raizbarp(1 - barp)(1n1 + 1n2)
Agora, substituímos na fórmula do $ z $:
p1
Vamos calcular o denominador passo a passo:
p2
p1 = x1n1 = 2550 = 0,5
p2 = x2n2 = 55100 = 0,55
Agora, o $ z $:
z

Passo 4

Vamos determinar os valores críticos $ z_{crítico} $ para um teste bilateral com nível de significância $ \alpha = 0,05 $.
Em um teste bilateral, dividimos $ \alpha $ em duas partes iguais para os lados esquerdo e direito da distribuição normal.
Os valores críticos são encontrados usando tabelas de distribuição normal ou calculadoras:
zcrítico í

Passo 5

Por fim, vamos calcular o valor $ P $, que representa a probabilidade de obtermos um resultado tão extremo quanto o observado, assumindo que a hipótese nula é verdadeira.
Como nosso $ z $ calculado é aproximadamente -0,579, vamos encontrar o valor $ P $:
Usando uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora, encontramos que:
P

Resposta

a) Estimativa combinada $ \bar{p} \approx 0,5333 $
b) Estatística de teste $ z \approx -0,579 $
c) Valores críticos $ z_{crítico} = \pm 1,96 $
d) Valor $ P \approx 0,562 $

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