Uma forma comum de testar a autenticidade de dados é analisar a freqüência de algarismos. Quando as pessoas se pesam e seus pesos são arredondados para a libra mais próxima, é de se esperar que os últimos algarismos 0,1,2, ldots, 9 ocorram aproximadamente com a mesma freqüência. Em contraste, quando se pergunta a uma pessoa qual é o seu peso, os algarismos 0 e 5 tendem a ocorrer com maior freqüência. O autor selecionou aleatoriamente 80 estudantes, obteve seus pesos e registrou apenas o último algarismo de cada um, com os resultados apresentados na tabela a seguir. Com o nível de significância de 0,01 , teste a afirmação de que os últimos algarismos ocorrem com a mesma freqüência. Os resultados sugerem que os estudantes tenham sido realmente pesados, ou se limitaram a reportar seus pesos?
Último algarismo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Freqüência 35 0 2 1 4 24 1 4 7 2

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente quer saber se os últimos algarismos dos pesos dos estudantes ocorrem com a mesma frequência quando eles são realmente pesados, em comparação com quando apenas reportam seus próprios pesos. Isso está relacionado à análise de frequência dos dados e vamos usar o teste do qui-quadrado de aderência para verificar se a distribuição observada dos algarismos difere da distribuição esperada, que seria uniforme (todos os algarismos de 0 a 9 com a mesma frequência). Para resolver isso, precisamos calcular as frequências esperadas, o valor do teste do qui-quadrado e comparar com o valor crítico para tomar uma decisão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos. Foram 80 estudantes e os últimos algarismos dos pesos foram distribuídos da seguinte forma:
Último algarismo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Frequência 35 0 2 1 4 24 1 4 7 2
Como a hipótese é que todos os algarismos de 0 a 9 têm a mesma probabilidade de ocorrer, a frequência esperada para cada algarismo seria igual. Como temos 80 observações e 10 algarismos, a frequência esperada para cada um é:
Ei = 8010 = 8

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor do teste do qui-quadrado ($ \chi^2 $). A fórmula é:
chi^2
Onde $ O_i $ são as frequências observadas e $ E_i $ são as frequências esperadas.
Vamos calcular para cada algarismo:
  • Para 0: $ \frac{(35 - 8)^2}{8} = \frac{27^2}{8} = \frac{729}{8} = 91,125 $
  • Para 1: $ \frac{(0 - 8)^2}{8} = \frac{64}{8} = 8 $
  • Para 2: $ \frac{(2 - 8)^2}{8} = \frac{36}{8} = 4,5 $
  • Para 3: $ \frac{(1 - 8)^2}{8} = \frac{49}{8} = 6,125 $
  • Para 4: $ \frac{(4 - 8)^2}{8} = \frac{16}{8} = 2 $
  • Para 5: $ \frac{(24 - 8)^2}{8} = \frac{256}{8} = 32 $
  • Para 6: $ \frac{(1 - 8)^2}{8} = \frac{49}{8} = 6,125 $
  • Para 7: $ \frac{(4 - 8)^2}{8} = \frac{16}{8} = 2 $
  • Para 8: $ \frac{(7 - 8)^2}{8} = \frac{1}{8} = 0,125 $
  • Para 9: $ \frac{(2 - 8)^2}{8} = \frac{36}{8} = 4,5 $
Agora, somamos todos esses valores:
chi^2 = sum (Oi - Ei)^2Ei

Passo 4

Vamos determinar o valor crítico do teste do qui-quadrado para o nível de significância de 0,01 e os graus de liberdade apropriados. Os graus de liberdade ($ df $) para o teste de aderência são calculados como:
df
Onde $ k $ é o número de categorias. Aqui, temos 10 algarismos, então:
df = k - 1
Consultando uma tabela de qui-quadrado ou usando uma calculadora estatística, o valor crítico para $ df = 9 $ e $ \alpha = 0,01 $ é aproximadamente 21,666.

Passo 5

Agora, comparamos o valor calculado do qui-quadrado ($ \chi^2 = 156,5 chi^2 = 156,5 í 21,666 $):
21,666
Como o valor calculado é maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste do qui-quadrado, rejeitamos a hipótese de que os últimos algarismos dos pesos ocorrem com a mesma frequência. Isso sugere que os estudantes provavelmente não foram realmente pesados, mas sim que reportaram seus próprios pesos, favorecendo os algarismos 0 e 5 com maior frequência.

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