Nos Exercícios 1 e 2, teste a afirmação, no nível de significância alpha=0,05, supondo que todas as populações tenham distribuição normal. Aplique o método tradicional de teste de hipóteses apresentado na Figura 7-4.
  1. Afirmação: As populações A e B têm a mesma média (mu1=mu2). Amostra A: n1=10, barx1=75, s1=15
    Amostra B: n2=20, barx2=80, s2=12

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um teste de hipóteses para verificar se as médias de duas populações, A e B, são iguais. A gente vai usar a estatística tradicional com um nível de significância de alpha = 0,05. Para isso, vamos precisar dos dados das amostras:
  • Amostra A: tamanho n1 = 10, média barx1 = 75, desvio padrão s1 = 15
  • Amostra B: tamanho n2 = 20, média barx2 = 80, desvio padrão s2 = 12
Vamos seguir os passos para realizar o teste!

Passo 2

Primeiro, precisamos definir nossa hipótese nula ( H0) e a hipótese alternativa ( H1):
  • Hipótese Nula ( H0): As médias das populações são iguais, ou seja, mu1 = mu2.
  • Hipótese Alternativa ( H1): As médias são diferentes, mu1 neq mu2.
Vamos usar um teste bilateral porque estamos procurando por qualquer diferença, não importa a direção.

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença entre as médias das duas amostras:
barx1 - barx2 = 75 - 80 = -5
Então, a diferença é de -5 pontos. Mas precisamos ver se essa diferença é estatisticamente significativa.

Passo 4

Como estamos comparando as médias de duas amostras independentes com variâncias possivelmente diferentes, vamos usar o teste t de Student para duas amostras assumindo variâncias diferentes (teste t de Welch).
A fórmula para a estatística t é:
t = (barx1 - barx2) - (mu1 - mu2)raizs1^2n1 + s2^2n2
Como nossa hipótese nula afirma que mu1 = mu2, a parte (mu1 - mu2) é zero.

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
t = -5 - 0raiz15^210 + 12^220 = -5raiz22510 + 14420 = -5raiz22,5 + 7,2 = -5raiz29,7 approx -55,45 approx -0,92
Então, a estatística t calculada é aproximadamente -0,92.

Passo 6

Agora, precisamos determinar os graus de liberdade para o teste de Welch, que são calculados pela fórmula:
df = (s1^2n1 + s2^2n2)^2(s1^2n1)^2n1 - 1 + (s2^2n2)^2n2 - 1
Substituindo os valores:
df = (22,5 + 7,2)^222,5^29 + 7,2^219 = 29,7^2506,259 + 51,8419 approx 882,0956,25 + 2,73 approx 882,0958,98 approx 14,95
Vamos arredondar para 15 graus de liberdade.

Passo 7

Agora, vamos encontrar o valor crítico da distribuição t para um nível de significância de alpha = 0,05 em um teste bilateral com 15 graus de liberdade.
Consultando a tabela t de Student, encontramos que o valor crítico é aproximadamente tcrítico = pm 2,131í.

Passo 8

Comparamos a estatística t calculada com o valor crítico:
-0,92 > -2,131 e 0,92 < 2,131
Isso significa que nossa estatística t está dentro da região de aceitação.

Resposta

Como o valor calculado de t approx -0,92 está dentro do intervalo -2,131 < t < 2,131, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, com nível de significância de 5%, não há evidências suficientes para afirmar que as médias das populações A e B são diferentes.

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