O número
é um número irracional com a propriedade de que, quando procuramos expressá-lo em forma decimal, é necessário um número infinito de casas decimais, sem que haja qualquer padrão de repetição. Na representação decimal de
, os 100 primeiros algarismos ocorrem com as freqüências dadas na tabela a seguir. Com o nível de 0,05 de significância, teste se os algarismos
Algarismo | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Freqüência | 8 | 8 | 12 | 11 | 10 | 8 | 9 | 8 | 12 | 14 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer saber se, nos 100 primeiros dígitos do número
, cada algarismo de 0 a 9 aparece com a mesma frequência que seria esperado em uma distribuição uniforme. Para isso, vamos usar o Teste Qui-Quadrado de Bondade de Ajuste, que ajuda a verificar se os dados observados se encaixam bem com o comportamento esperado.
Passo 2
Primeiro, vamos formular nossas hipóteses:
- Hipótese Nula (
): Todos os algarismos de 0 a 9 aparecem com a mesma frequência na representação decimal de . Ou seja, cada dígito tem uma probabilidade de de aparecer. - Hipótese Alternativa (
): Pelo menos um dos algarismos não aparece com a frequência esperada.
Passo 3
Agora, vamos calcular a frequência esperada para cada algarismo. Como temos 100 dígitos e esperamos que cada um apareça igualmente, a frequência esperada para cada algarismo é:
Então, para todos os algarismos de 0 a 9, a frequência esperada é 10.
Passo 4
Vamos calcular o valor do teste Qui-Quadrado usando a fórmula:
Onde
é a frequência observada e
é a frequência esperada. Vamos fazer isso para cada algarismo:
Então,
.
Passo 5
Precisamos determinar os graus de liberdade para o teste. A fórmula é:
Aqui, temos 10 algarismos (0 a 9), então:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor crítico do Qui-Quadrado para um nível de significância de 0,05 e 9 graus de liberdade. Consultando a tabela do Qui-Quadrado, o valor crítico é aproximadamente 16,919.
Passo 7
Vamos comparar o valor calculado com o valor crítico:
- Se
, não rejeitamos a hipótese nula. - Se
, rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
Resposta
Como
é menor que
, não rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que, com um nível de significância de 0,05, não há evidências suficientes para afirmar que a distribuição dos algarismos nos 100 primeiros dígitos de
não é uniforme.