O número pi é um número irracional com a propriedade de que, quando procuramos expressá-lo em forma decimal, é necessário um número infinito de casas decimais, sem que haja qualquer padrão de repetição. Na representação decimal de pi, os 100 primeiros algarismos ocorrem com as freqüências dadas na tabela a seguir. Com o nível de 0,05 de significância, teste se os algarismos
Algarismo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Freqüência 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer saber se, nos 100 primeiros dígitos do número pi, cada algarismo de 0 a 9 aparece com a mesma frequência que seria esperado em uma distribuição uniforme. Para isso, vamos usar o Teste Qui-Quadrado de Bondade de Ajuste, que ajuda a verificar se os dados observados se encaixam bem com o comportamento esperado.

Passo 2

Primeiro, vamos formular nossas hipóteses:
  • Hipótese Nula ( H0): Todos os algarismos de 0 a 9 aparecem com a mesma frequência na representação decimal de pi. Ou seja, cada dígito tem uma probabilidade de 110 de aparecer.
  • Hipótese Alternativa ( Ha): Pelo menos um dos algarismos não aparece com a frequência esperada.

Passo 3

Agora, vamos calcular a frequência esperada para cada algarismo. Como temos 100 dígitos e esperamos que cada um apareça igualmente, a frequência esperada para cada algarismo é:
Ei = 10010 = 10
Então, para todos os algarismos de 0 a 9, a frequência esperada é 10.

Passo 4

Vamos calcular o valor do teste Qui-Quadrado usando a fórmula:
chi^2 = sum (Oi - Ei)^2Ei
Onde Oi é a frequência observada e Ei é a frequência esperada. Vamos fazer isso para cada algarismo:
chi^2 &= (8-10)^210 + (8-10)^210 + (12-10)^210 + (11-10)^210 + (10-10)^210 &+ (8-10)^210 + (9-10)^210 + (8-10)^210 + (12-10)^210 + (14-10)^210 &= 410 + 410 + 410 + 110 + 010 &+ 410 + 110 + 410 + 410 + 1610 &= 0,4 + 0,4 + 0,4 + 0,1 + 0 + 0,4 + 0,1 + 0,4 + 0,4 + 1,6 &= 4,0
Então, chi^2 = 4,0.

Passo 5

Precisamos determinar os graus de liberdade para o teste. A fórmula é:
GL = Número de categorias - 1 ú
Aqui, temos 10 algarismos (0 a 9), então:
GL = 10 - 1 = 9

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor crítico do Qui-Quadrado para um nível de significância de 0,05 e 9 graus de liberdade. Consultando a tabela do Qui-Quadrado, o valor crítico é aproximadamente 16,919.

Passo 7

Vamos comparar o valor calculado com o valor crítico:
  • Se chi^2calculado <= chi^2críticoí, não rejeitamos a hipótese nula.
  • Se chi^2calculado > chi^2críticoí, rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
4,0 <= 16,919

Resposta

Como 4,0 é menor que 16,919, não rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que, com um nível de significância de 0,05, não há evidências suficientes para afirmar que a distribuição dos algarismos nos 100 primeiros dígitos de pi não é uniforme.

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