Nos Exercícios de 5: a 9, teste se os conjuntos de polinômios são linearmente independentes. Para os que forem
linearmente dependentes, expresse um dos polinômios como combinação linear dos demais.
\left\{x, 2 x-x^{2}, 3 x+2 x^{2}\right\} em \mathscr{P}_{2}.

Passo 1

O enunciado pede para testar se o conjunto de polinômios \{x,\;2x - x^{2},\;3x + 2x^{2}\}
no espaço \mathscr{P}_{2} é linearmente independente, usando a definição de independência (a única combinação que dá o polinômio zero deve ser trivial).

Passo 2

Formamos a combinação linear genérica e igualamos ao polinômio zero:
c_{1}\,x \;+\; c_{2}\,(2x - x^{2}) \;+\; c_{3}\,(3x + 2x^{2}) \;=\; 0.
Expandindo e agrupando por potências de x:
(-c_{2} + 2c_{3})\,x^{2} \;+\; (c_{1} + 2c_{2} + 3c_{3})\,x \;=\; 0.

Passo 3

Como um polinômio é nulo para todo x se, e só se, todos os coeficientes são zero, obtemos o sistema
\begin{cases} -c_{2} + 2c_{3} = 0,\\\ c_{1} + 2c_{2} + 3c_{3} = 0. \end{cases}
Note que faltou equação para termo constante — logo temos 2 equações e 3 incógnitas, indicando existência de solução não trivial.

Passo 4

Resolvendo em função de um parâmetro, por exemplo c_{2}=t\): \[\begin{cases} -c_{2} + 2c_{3} = 0 \;\Rightarrow\; c_{3} = \tfrac12\,c_{2} = \tfrac12\,t,\\\ c_{1} + 2c_{2} + 3c_{3} = 0 \;\Rightarrow\; c_{1} = -2c_{2} - 3c_{3} = -2t - \tfrac32\,t = -\tfrac72\,t. \end{cases}
Como escolhemos (t\neq0], existe combinação não trivial, logo o conjunto é linearmente dependente.

Passo 5

Para dar um exemplo explícito, tome t=2. Então
c_{2}=2,\quad c_{3}=1,\quad c_{1}=-7
satisfaz
-7\,x \;+\; 2\,(2x - x^{2}) \;+\; 1\,(3x + 2x^{2}) \;=\; 0.
Isolando x, obtemos
x \;=\; \tfrac{2}{7}\,(2x - x^{2}) \;+\; \tfrac{1}{7}\,(3x + 2x^{2}).

Resposta

O conjunto é linearmente dependente em \mathscr{P}_{2} e um dos polinômios se escreve como
x \;=\; \tfrac{2}{7}\,(2x - x^{2}) \;+\; \tfrac{1}{7}\,(3x + 2x^{2}).

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