Nos Exercícios de 5: a 9, teste se os conjuntos de polinômios são linearmente independentes. Para os que forem
linearmente dependentes, expresse um dos polinômios como combinação linear dos demais.
em
.
linearmente dependentes, expresse um dos polinômios como combinação linear dos demais.
Passo 1
O enunciado pede para testar se o conjunto de polinômios
no espaço é linearmente independente, usando a definição de independência (a única combinação que dá o polinômio zero deve ser trivial).
no espaço
Passo 2
Formamos a combinação linear genérica e igualamos ao polinômio zero:
Expandindo e agrupando por potências de
:
Passo 3
Como um polinômio é nulo para todo
se, e só se, todos os coeficientes são zero, obtemos o sistema
Note que faltou equação para termo constante — logo temos 2 equações e 3 incógnitas, indicando existência de solução não trivial.
Passo 4
Resolvendo em função de um parâmetro, por exemplo
Como escolhemos (t\neq0], existe combinação não trivial, logo o conjunto é linearmente dependente.
Passo 5
Para dar um exemplo explícito, tome
. Então
satisfaz
Isolando
, obtemos
Resposta
O conjunto é linearmente dependente em
e um dos polinômios se escreve como