Nos Exercícios de 5: a 9, teste se os conjuntos de polinômios são linearmente independentes. Para os que forem
linearmente dependentes, expresse um dos polinômios como combinação linear dos demais.
\left\{1-2 x, 3 x+x^{2}-\mathrm{x}^{3}, 1+x^{2}+2 x^{3}, 3+2 x+3 x^{3}\right\} em \mathscr{P}_{3}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios \{\,1-2x,\;3x + x^{2}-x^{3},\;1+x^{2}+2x^{3},\;3+2x+3x^{3}\}
em \mathscr{P}_{3} é linearmente independente ou não. Vamos usar o teste da combinação linear nula: montar
c_{1}(1-2x) \;+\; c_{2}(3x + x^{2}-x^{3}) \;+\; c_{3}(1+x^{2}+2x^{3}) \;+\; c_{4}(3+2x+3x^{3}) = 0
e igualar coeficientes de 1,x,x^{2},x^{3}.

Passo 2

Escrevendo a soma e coletando termos, obtemos o sistema
\begin{cases} c_{1} + c_{3} + 3c_{4} = 0,\\\\ -2c_{1} + 3c_{2} + 2c_{4} = 0,\\\ c_{2} + c_{3} = 0,\\\\ -\,c_{2} + 2c_{3} + 3c_{4} = 0. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação vem
c_{3} = -\,c_{2}.
Substituindo em quarta equação:
-\,c_{2} + 2(-\,c_{2}) + 3c_{4} = 0 \;\Longrightarrow\; -3c_{2} + 3c_{4} = 0 \;\Longrightarrow\; c_{4} = c_{2}.
Agora na primeira equação:
c_{1} + (-\,c_{2}) + 3(c_{2}) = 0 \;\Longrightarrow\; c_{1} + 2c_{2} = 0 \;\Longrightarrow\; c_{1} = -2c_{2}.
Finalmente, na segunda equação:
-2(-2c_{2}) + 3c_{2} + 2(c_{2}) = 0 \;\Longrightarrow\; 4c_{2} + 3c_{2} + 2c_{2} = 9c_{2} = 0 \;\Longrightarrow\; c_{2} = 0.
Logo c_{1}=c_{2}=c_{3}=c_{4}=0.

Passo 4

Só há solução trivial para a combinação linear nula, portanto o conjunto é linearmente independente em \mathscr{P}_{3}.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

Exercícios relacionados