Teste se os conjuntos de matrizes são linearmente independentes em M_{22}. Para os que forem linearmente dependentes, expresse uma das matrizes como combinação linear das demais.
\left\{\left[\begin{array}{rr}2 & -3 \\\\ 4 & 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ 3 & 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}-1 & 3 \\\\ 1 & 5\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá três matrizes em M_{22}:
M_{1} = \begin{pmatrix}2 & -3 \\\\ 4 & 2\end{pmatrix},\quad M_{2} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 3 & 3\end{pmatrix},\quad M_{3} = \begin{pmatrix}-1 & 3 \\\\ 1 & 5\end{pmatrix}
e pede para testar se elas são linearmente independentes. O conceito é: \{M_{1},M_{2},M_{3}\} é linearmente independente se a única solução de
aM_{1} + bM_{2} + cM_{3} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
for a=b=c=0. Para resolver, vamos montar esse sistema de equações comparando cada entrada.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear nula e igualando entradas, obtemos o sistema
\begin{cases} 2a + b - c = 0,\\\\ -3a - b + 3c = 0,\\\\ 4a + 3b + c = 0,\\\\ 2a + 3b + 5c = 0. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo as duas primeiras equações:
somando
(2a + b - c) + (-3a - b + 3c) = -a + 2c = 0
segue a = 2c. Substituindo em 2a + b - c = 0
b = c - 2a = c - 4c = -3c.
Logo (a,b,c) = (2c,\,-3c,\,c). Verificamos que essas expressões também satisfazem as duas últimas equações, de modo que existe solução não trivial.

Passo 4

Como há solução não trivial, o conjunto é linearmente dependente. A relação de dependência, escolhendo c=1, é
2M_{1} \;-\; 3M_{2} \;+\; 1\,M_{3} \;=\; 0.
Daí podemos isolar, por exemplo, M_{3}:
M_{3} \;=\; -2\,M_{1} \;+\; 3\,M_{2}.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente em M_{22} e
M_{3} = -2\,M_{1} + 3\,M_{2}.

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