Mostre que os conjuntos abaixo não são subespaços vetoriais
S=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x y=0\right\}

Passo 1

O enunciado define
S = \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x\,y = 0\}
e pede para mostrar que S não é subespaço de \mathbb{R}^4. Lembrando que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se, satisfaz três condições:
  1. 0\in W.
  2. Fechamento sob adição: se u,v\in W então u+v\in W.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in W.

Passo 2

Verificamos primeiro que o vetor zero (0,0,0,0) pertence a S, pois
x\,y = 0\cdot 0 = 0,
logo (0,0,0,0)\in S.

Passo 3

Agora checamos o fechamento sob adição. Tomemos
u = (1,0,0,0)\quad\text{e}\quad v = (0,1,0,0).
Em cada um desses vetores, o produto das duas primeiras coordenadas é zero, então u\in S e v\in S. Porém
u + v = (1,0,0,0) + (0,1,0,0) = (1,1,0,0),
e nesse vetor temos
x\,y = 1\cdot 1 = 1 \neq 0,
portanto u+v\notin S. Isso mostra que S não é fechado sob adição.

Resposta

S não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^4 porque falha na propriedade de fechamento sob adição.

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