Teste se os conjuntos de matrizes são linearmente independentes em M_{22}. Para os que forem linearmente dependentes, expresse uma das matrizes como combinação linear das demais.
\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de quatro matrizes em M_{2\times2}:
A_1=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix},\; A_2=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix},\; A_3=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&1\end{pmatrix},\; A_4=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&0\end{pmatrix},
e pede para testar se elas são linearmente independentes.

Passo 2

Suponha que exista combinação linear nula:
\alpha_1A_1+\alpha_2A_2+\alpha_3A_3+\alpha_4A_4 =\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Igualando entrada a entrada, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha_1+\alpha_2+\alpha_4=0,\\\ \alpha_1+\alpha_3+\alpha_4=0,\\\ \alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=0,\\\ \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0. \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações subtraímos a quarta:
(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_4)-(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)=0 \;\Rightarrow\;\alpha_4=\alpha_3,
(\alpha_1+\alpha_3+\alpha_4)-(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)=0 \;\Rightarrow\;\alpha_4=\alpha_2.
Da terceira menos a segunda vem
(\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4)-(\alpha_1+\alpha_3+\alpha_4)=0 \;\Rightarrow\;\alpha_2=\alpha_1.
Logo \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=k. Substituindo em \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0 3k=0, ou seja k=0.

Passo 4

Como o único vetor de coeficientes que satisfaz a combinação nula é o trivial (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=(0,0,0,0), concluímos que as matrizes são linearmente independentes.

Resposta

As quatro matrizes são linearmente independentes em M_{2\times2}.

Exercícios relacionados