Teste se os conjuntos de matrizes são linearmente independentes em M_{22}. Para os que forem linearmente dependentes, expresse uma das matrizes como combinação linear das demais. \left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]\right\}
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto de quatro matrizes em M_{2\times2}:
Logo \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=k. Substituindo em \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0 dá 3k=0, ou seja k=0.
Passo 4
Como o único vetor de coeficientes que satisfaz a combinação nula é o trivial (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=(0,0,0,0), concluímos que as matrizes são linearmente independentes.
Resposta
As quatro matrizes são linearmente independentes em M_{2\times2}.