Nos exercícios de 1 a 9, usar o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada: , onde é o retângulo de vértices , e , no sentido horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular uma integral de linha usando o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes ajuda a transformar uma integral de linha complicada em uma integral de superfície mais fácil de resolver. Vamos precisar entender o que é uma integral de linha, o Teorema de Stokes, e como aplicar esses conceitos na prática. A gente tem a integral:
E a curva é um retângulo no espaço com vértices em , , e , percorrida no sentido horário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o Teorema de Stokes nos diz. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como contorno. A fórmula é:
Agora que temos , precisamos escolher uma superfície que tenha como contorno. Observando os vértices da curva , vemos que todos têm , o que significa que a superfície é o próprio retângulo no plano .
O vetor normal para essa superfície é , já que a superfície está paralela ao plano .
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS = integral duplaS (-j) cdot k, dS
O produto escalar integral duplaS (-j) cdot k, dS = 0 , então: