Nos exercícios de 1 a 9, usar o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
ointC[(y-x) d x+(x-z) d y+(x-y) d z], onde C é o retângulo de vértices (0,0,5), (0,2,5),(-1,0,5) e (-1,2,5), no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular uma integral de linha usando o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes ajuda a transformar uma integral de linha complicada em uma integral de superfície mais fácil de resolver. Vamos precisar entender o que é uma integral de linha, o Teorema de Stokes, e como aplicar esses conceitos na prática. A gente tem a integral:
ointC [(y - x), dx + (x - z), dy + (x - y), dz]
E a curva é um retângulo no espaço com vértices em , , e , percorrida no sentido horário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o Teorema de Stokes nos diz. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como contorno. A fórmula é:
Onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, vamos identificar nosso campo vetorial F(x,y,z) = [(y - x), (x - z), (x - y)] :
Precisamos calcular o rotacional de , ou seja, .

Passo 4

Calculando o rotacional:
nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z y - x & x - z & x - y
Vamos expandir esse determinante:
i ( partialpartial y(x - y) - partialpartial z(x - z) ) - j ( partialpartial x(x - y) - partialpartial z(y - x) ) + k ( partialpartial x(x - z) - partialpartial y(y - x) )
Calculando cada derivada:
  • Para partialpartial y(x - y) = -1 e partialpartial z(x - z) = -1 Rightarrow -1 - (-1) = 0 :
partialpartial x(x - y) = 1 e partialpartial z(y - x) = 0 Rightarrow 1 - 0 = 1
  • Para partialpartial x(x - z) = 1 e partialpartial y(y - x) = 1 Rightarrow 1 - 1 = 0 :
nabla times F = 0, i - 1, j + 0, k = -j
  • Para :
Então, o rotacional fica:

Passo 5

Agora que temos , precisamos escolher uma superfície que tenha como contorno. Observando os vértices da curva , vemos que todos têm , o que significa que a superfície é o próprio retângulo no plano .
O vetor normal para essa superfície é , já que a superfície está paralela ao plano .

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS = integral duplaS (-j) cdot k, dS
O produto escalar integral duplaS (-j) cdot k, dS = 0 , então:

Resposta

A integral de linha é igual a 0.

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