Resolva os problemas de valor inicial (PVI).
Res.:
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) dado pela equação diferencial
com a condição inicial
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias, e vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis ou integração para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar
:
Isso nos ajuda a ver melhor como proceder para separar as variáveis
e
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
:
Isso permite integrar ambos os lados em relação às suas respectivas variáveis.
Passo 4
Reescrevemos a equação diferencial em termos de diferenciais:
Essa forma facilita a integração direta de ambos os lados.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Integrando, obtemos:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados da equação por 2 para simplificar:
Podemos renomear
como uma nova constante
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
Substituindo o valor de
na equação, temos a solução do PVI: