Resolva os problemas de valor inicial (PVI). y y' - e^t = 0, y(0) = 4 Res.: y^2 = 2 e^t + 14

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) dado pela equação diferencial com a condição inicial . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias, e vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis ou integração para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar :
Isso nos ajuda a ver melhor como proceder para separar as variáveis e .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por :
Isso permite integrar ambos os lados em relação às suas respectivas variáveis.

Passo 4

Reescrevemos a equação diferencial em termos de diferenciais:
Essa forma facilita a integração direta de ambos os lados.

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Integrando, obtemos:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados da equação por 2 para simplificar:
Podemos renomear como uma nova constante :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

Substituindo o valor de na equação, temos a solução do PVI:

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