Resolva os problemas de valor inicial (PVI). y(t+1) + y' = 0, y(-2) = 1 Res.: y = e^(- (t^2 + 2t) / 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de valor inicial (PVI) envolvendo uma equação diferencial. Nossa missão é encontrar a função que satisfaz a equação e que passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais clara:
Aqui, representa a derivada de em relação a . Nosso objetivo é encontrar que satisfaça essa equação.

Passo 3

Observe que a equação envolve , que é avaliado em . Isso sugere que estamos lidando com uma equação diferencial de atraso, onde o valor da função em um ponto depende de seu valor em um ponto anterior.
No entanto, resolver essa equação diretamente pode ser complicado. Vamos tentar uma abordagem diferente: usar uma substituição para simplificar.

Passo 4

Vamos fazer uma mudança de variável para transformar a equação em uma forma mais tratável. Seja , então .
Substituindo na equação original:
Mas precisamos expressar em termos de . Como , então , e portanto:
Então a equação fica:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial ordinária de primeira ordem:
Essa é uma equação linear de primeira ordem e podemos resolvê-la usando um fator integrante. A equação geral é:
onde, no nosso caso, e .

Passo 6

O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
O que nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Resolvendo para :
Lembre-se de que .

Passo 9

Agora aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituindo na expressão de :
Então:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão para :
Simplificando os expoentes:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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