Resolva os problemas de valor inicial (PVI).
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de valor inicial (PVI) envolvendo uma equação diferencial. Nossa missão é encontrar a função
que satisfaz a equação
e que passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais clara:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Nosso objetivo é encontrar
que satisfaça essa equação.
Passo 3
Observe que a equação envolve
, que é
avaliado em
. Isso sugere que estamos lidando com uma equação diferencial de atraso, onde o valor da função em um ponto depende de seu valor em um ponto anterior.
No entanto, resolver essa equação diretamente pode ser complicado. Vamos tentar uma abordagem diferente: usar uma substituição para simplificar.
Passo 4
Vamos fazer uma mudança de variável para transformar a equação em uma forma mais tratável. Seja
, então
.
Substituindo na equação original:
Mas precisamos expressar
em termos de
. Como
, então
, e portanto:
Então a equação fica:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial ordinária de primeira ordem:
Essa é uma equação linear de primeira ordem e podemos resolvê-la usando um fator integrante. A equação geral é:
onde, no nosso caso,
e
.
Passo 6
O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
O que nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Resolvendo para
:
Lembre-se de que
.
Passo 9
Agora aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
na expressão de
:
Então:
Passo 10
Substituindo
de volta na expressão para
:
Simplificando os expoentes:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: