Nos Exercícios de 1 a 8, use uma representação paramétrica de C ou dos arcos de C para calcular
integralC f(z) d z
f(z) é o ramo principal
z^a-1=exp [(a-1) log z] (|z|>0,-pi<Arg z<pi)
da função potência z^a-1, em que a é um número real não nulo e C é o ć́rculo de raio R centrado na origem orientado positivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
onde é o ramo principal (isto é, ), e é o círculo percorrido positivamente. Vamos usar uma parametrização em dois arcos, pois ao cruzar o ponto a argumentação salta de para .

Passo 2

Parametrizamos por
para :
Porém a parte do arco com tem , enquanto para a convenção principal dá . Logo devemos dividir o integral em duas partes:

Passo 3

Em temos
, logo
Em temos , então

Passo 4

Substituindo na integral com dz=iRe^itdt:
integralCz^a-1dz =iR^al[integral0^pie^i(a-1)te^itdt +integralpi^2pie^i(a-1)(t-2pi)e^itdtr]
Em cada termo combinamos e^i(a-1)te^it=e^i a t. No segundo aparece ainda o fator e^-2pi i(a-1):
integralCz^a-1dz =iR^al[integral0^pie^i a tdt +e^-2pi i(a-1)integralpi^2pie^i a tdtr]

Passo 5

Calculamos as integrais exponenciais:
integral0^pie^i a tdt =e^ipi a-1i a, integralpi^2pie^i a tdt =e^i2pi a-e^ipi ai a
Logo
integralCz^a-1dz =iR^ai al[(e^ipi a-1) +e^-2pi i(a-1)l(e^i2pi a-e^ipi ar)r]
Observando que
e^-2pi i(a-1)e^i2pi a=1 e
e^-2pi i(a-1)e^ipi a=e^-ipi a, o colchete vira
(e^ipi a-1)+(1-e^-ipi a) =e^ipi a-e^-ipi a =2isin(pi a)
Portanto
integralCz^a-1dz =R^aa,2isin(pi a)

Resposta

boxedintegralCz^a-1dz ;=;2i,R^a,sin(pi a)a

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