Nos Exercícios de 1 a 8, use uma representação paramétrica de
ou dos arcos de
para calcular
é o ramo principal
da função potência
, em que
é um número real não nulo e
é o ć́rculo de raio
centrado na origem orientado positivamente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o ramo principal (isto é, ),
e
é o círculo
percorrido positivamente. Vamos usar uma parametrização em dois arcos, pois ao cruzar o ponto
a argumentação salta de
para
.
Passo 2
Parametrizamos
por
para :
para
Porém a parte do arco com
tem , enquanto para
a convenção principal dá . Logo devemos dividir o integral em duas partes:
Passo 3
Em
temos
, logo
, logo
Em
temos , então
Passo 4
Substituindo na integral com
:
Em cada termo combinamos
. No segundo aparece ainda o fator
:
Passo 5
Calculamos as integrais exponenciais:
Logo
Observando que
e
, o colchete vira
Portanto