QUESTÃO 02 - Considere o seguinte problema de condução de calor em uma barra:
ux x(x, t)=ut(x, t), & 0<x<20, t>0 ux(0, t)=0, ux(20, t)=0, & t>0 u(x, 0)=f(x), & 0<x<20
onde
f(x)= x, & 0<x<10 10, & 10 <= x<20
Encontre a solução desse problema.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de calor unidimensional
uxx(x,t)=ut(x,t), 0<x<20,;t>0
com condições de isolamento nas extremidades
ux(0,t)=0, ux(20,t)=0
e condição inicial em pedaços
f(x)= x,&0<x<10, 10,&10<= x<20
Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de Fourier com modos de Neumann (cossenos) para escrever a solução.

Passo 2

A solução geral compatível com BCs de Neumann é da forma
u(x,t)=A0+sumn=1^inftyAn,cos!l(tfracnpi x20r),e^-(npi/20)^2t,
onde
A0=120integral0^20f(x),dx, An=220integral0^20f(x)cos!l(tfracnpi x20r),dx

Passo 3

Calculemos A0:
integral0^20f(x),dx =integral0^10x,dx+integral10^2010,dx =l[tfracx^22r]0^10+10,(20-10) =50+100=150
Logo
A0=15020=152

Passo 4

Para n>=1 definimos k=tfracnpi20 e escrevemos
An=110l(underbraceintegral0^10xcos(kx),dxI1 +underbraceintegral10^2010cos(kx),dxI2r)
Integrando por partes em I1 e usando sin(20k)=0, sin(10k)=sin(tfracnpi2), cos(10k)=cos(tfracnpi2), obtém-se após simplificação
I1+I2=cos(10k)-1k^2
Como k^2=(npi/20)^2, vem
An =110,cos(tfracnpi2)-1(npi/20)^2 =40n^2pi^2l(cos(tfracnpi2)-1r)

Passo 5

Substituindo em u(x,t) obtemos a solução final
u(x,t) =152 +sumn=1^infty 40l(cos(tfracnpi2)-1r)n^2pi^2 cos!l(tfracnpi x20r) exp!l[-(npi/20)^2tr]

Resposta

u(x,t) =152 +sumn=1^infty 40l(cos(tfracnpi2)-1r)n^2pi^2 cos!l(tfracnpi x20r) e^-(npi/20)^2t

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