QUESTÃO 01 -
(a) Encontre a série de Fourier de
.
(b) Usando o resultado da letra (a) prove que
Justifique suas respostas usando o Teorema de Fourier.
(b) Usando o resultado da letra (a) prove que
Passo 1
Vamos resolver a Questão 01, que tem duas partes. Na parte (a), precisamos encontrar a série de Fourier da função $ f(x) = |\sin(\pi x)| $. Na parte (b), vamos usar o resultado da parte (a) para provar que $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^{2}-1} = \frac{1}{2} $. Para isso, vamos utilizar o Teorema de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ f(x) = |\sin(\pi x)| $. Essa função é par, ou seja, $ f(-x) = f(x) $, e tem período $ T = 2 $. Por ser uma função par e de período $ 2 $, sua série de Fourier será composta apenas por termos de cosseno.
Passo 3
A série de Fourier para uma função par pode ser escrita como:
onde os coeficientes $ a_n $ são dados por:
Como $ T = 2 $, a fórmula fica:
Passo 4
Vamos calcular $ a_0 $, que é o coeficiente constante:
Sabemos que $ |\sin(\pi x)| $ tem simetria e integral conhecida:
Então, $ a_0 = \frac{4}{\pi} $.
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $ para $ n \geq 1 $:
Devido à periodicidade e simetria da função, podemos simplificar a integral:
Usando a identidade trigonométrica $ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)] $, temos:
Passo 6
Calculando as integrais:
Somando as duas partes:
Simplificando usando $ \cos(k\pi) = (-1)^k $:
Observando que $ (-1)^{1-n} = (-1)^{n+1} $, temos:
Portanto, os coeficientes $ a_n $ são:
Passo 7
Assim, a série de Fourier de $ f(x) = |\sin(\pi x)| $ é:
Passo 8
Agora, para a parte (b), vamos usar a série de Fourier encontrada para provar que:
Observando que na série de Fourier, ao avaliar $ x = 0 $:
$$
|\sin(0)| = 0 = \frac{2}{\pi} + \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^{2} - 1}
|\sin(0)| = 0 = \frac{2}{\pi} + \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^{2} - 1}
0 = \frac{2}{\pi} + \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^{2} - 1}
$$
Resposta
A soma $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^{2}-1} $ é igual a $ \frac{1}{2} $.