Nos Exercicios de 1 a 8, use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty 12 n+1

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral na série
sumn=1^infty12n+1.
O conteúdo é o teste da integral para séries: associamos an=f(n) à convergência da integral imprópria
integral1^inftyf(x),dx. Definimos
f(x)=12x+1
e vamos verificar as condições para aplicar o teste.

Passo 2

Verificamos que f(x)=12x+1 é contínua e positiva para x>=1. Sua derivada é
f'(x)=-2(2x+1)^2,
que é negativa para todo x>=1, logo f é decrescente no intervalo [1,infty).

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
integral1^infty12x+1,dx
Fazendo a substituição u=2x+1 com du=2,dx, temos dx=du2, u(1)=3 e utoinfty quando xtoinfty. Então
integral1^infty12x+1,dx =integral3^infty1ucdotdu2 =12integral3^inftyduu =12l[ln ur]3^infty =infty

Passo 4

Como a integral diverge, pelo teste da integral a série
sumn=1^infty12n+1
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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