[Seção 7.2] Calcule a integral.
[41] integral sen^2(8 x) cos (5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sin^2(8x),cos(5x),dx
Este é um problema de integração de produto de funções trigonométricas; vamos usar a identidade de redução de potência para sin^2 e depois a fórmula do produto em soma para cossenos.

Passo 2

Usamos a identidade
sin^2(8x)=1-cos(16x)2
Logo a integral fica
integral sin^2(8x)cos(5x),dx =12integrall[1-cos(16x)r]cos(5x),dx

Passo 3

Distribuindo a integral por linearidade, obtemos
12integralcos(5x),dx -12integralcos(16x)cos(5x),dx

Passo 4

Na segunda parcela, aplicamos
cos(16x)cos(5x) =12l[cos(21x)+cos(11x)r]
Isso dá
integralcos(16x)cos(5x),dx =12integrall[cos(21x)+cos(11x)r],dx

Passo 5

Reescrevendo tudo, a integral original é
12integralcos(5x),dx -12cdot12integralcos(21x),dx -12cdot12integralcos(11x),dx
Usamos integralcos(kx),dx=1ksin(kx) em cada termo.

Passo 6

Integrando e simplificando os coeficientes, chega-se a
12cdot15sin(5x) -14cdot121sin(21x) -14cdot111sin(11x) + C
=110sin(5x) -184sin(21x) -144sin(11x) + C

Resposta

110sin(5x) -184sin(21x) -144sin(11x) + C

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