[Seção 7.1] Calcule a integral.
[26] integral1^2 w^2 ln (w) d w

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^2 w^2ln(w),dw
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = uv - integral v,du
Vamos escolher sabiamente u e dv de modo a simplificar a integral.

Passo 2

Escolhemos
u = ln(w), dv = w^2,dw
Então calculamos
du = 1w,dw, v = integral w^2,dw = w^33

Passo 3

Aplicando integração por partes em integral1^2 w^2ln(w),dw, temos
integral1^2 w^2ln(w),dw = lw^33ln(w)r|1^2 - integral1^2 w^33cdot1w,dw

Passo 4

Simplificamos o segundo termo:
integral1^2 w^33cdot1w,dw = 13integral1^2 w^2,dw = 13l[w^33r]1^2 = 19l(2^3-1^3r) = 79
O termo de fronteira é
lw^33ln(w)r|1^2 = 2^33ln(2) - 1^33ln(1) = 83ln(2) - 0

Passo 5

Juntando tudo, obtemos
integral1^2 w^2ln(w),dw = 83ln(2) - 79

Resposta

83ln(2);-;79

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