Nos Exercicios de 1 a 8, use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty 2(3 n+5)^2

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral na série
sumn=1^infty2(3n+5)^2
O teste da integral diz que, se definirmos
f(x)=2(3x+5)^2
para x>=1, e se f for positiva, contínua e decrescente, então a convergência da série sum f(n) é equivalente à convergência da integral imprópria integral1^inftyf(x),dx.

Passo 2

Verificamos as condições do teste:
  1. Para x>=1, 3x+5>0 então f(x)>0.
  2. A função f é contínua em [1,infty) porque o denominador nunca zera.
  3. Calculamos a derivada para checar que f é decrescente:
f'(x) =ddxl(2(3x+5)^-2r) =2cdot(-2)(3x+5)^-3cdot3 =-12,(3x+5)^-3<0
Logo, f é decrescente em [1,infty).

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
integral1^infty2(3x+5)^2,dx
Fazendo a substituição u=3x+5, du=3,dx, dx=du3, os limites x=1to u=8 e xtoinftyto utoinfty. Assim,
integral1^infty2(3x+5)^2,dx =integral8^infty2u^2cdotdu3 =23integral8^inftyu^-2,du =23l[-u^-1r]8^infty =23l(0 -(-tfrac18)r) =23cdot18 =112
Como 112 é finito, a integral converge.

Passo 4

Pelo teste da integral, sendo a integral convergente, a série
sumn=1^infty2(3n+5)^2
também converge.

Resposta

A série converge.

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