Nos Exercicios de 1 a 8, use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral na série
O teste da integral diz que, se definirmos
para
, e se
for positiva, contínua e decrescente, então a convergência da série
é equivalente à convergência da integral imprópria
.
Passo 2
Verificamos as condições do teste:
- Para
, então . - A função
é contínua em porque o denominador nunca zera. - Calculamos a derivada para checar que
é decrescente:
Logo,
é decrescente em
.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazendo a substituição
,
,
, os limites
e
. Assim,
Como
é finito, a integral converge.
Passo 4
Pelo teste da integral, sendo a integral convergente, a série
também converge.
Resposta
A série converge.