Nos Exercicios de 1 a 8, use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty 1(n+2)^3 / 2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty1(n+2)^3/2
usando o teste da integral. O conteúdo envolvido é o teste da integral para séries de termos positivos e decrescentes, que compara a série com a integral imprópria de uma função adequada.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=1(x+2)^3/2,
para x>=1. Note que f(x)>0 e, como a derivada
f'(x)=-32,(x+2)^-5/2
é negativa para x>=1, a função é decrescente nesse intervalo. Assim, podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria correspondente:
integral1^infty1(x+2)^3/2,dx
Fazendo a troca de variável u=x+2, vem
integral1^infty1(x+2)^3/2,dx =integral3^inftyu^-3/2,du
Integramos:
integral u^-3/2,du =u^-1/2-tfrac12 =-2,u^-1/2
Logo,
integral3^inftyu^-3/2,du =limBtoinftyl[-2,u^-1/2r]u=3^u=B =limBtoinftyl(-2,B^-1/2+2,3^-1/2r) =2,3^-1/2,
que é finito.

Passo 4

Como a integral imprópria
integral1^infty1(x+2)^3/2,dx
converge, o teste da integral garante que a série
sumn=1^infty1(n+2)^3/2
também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados