Nos Exercicios de 1 a 8, use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
usando o teste da integral. O conteúdo envolvido é o teste da integral para séries de termos positivos e decrescentes, que compara a série com a integral imprópria de uma função adequada.
Passo 2
Definimos a função
para
. Note que
e, como a derivada
é negativa para
, a função é decrescente nesse intervalo. Assim, podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria correspondente:
Fazendo a troca de variável
, vem
Integramos:
Logo,
que é finito.
Passo 4
Como a integral imprópria
converge, o teste da integral garante que a série
também converge.
Resposta
A série converge.