Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
f(t)=e^2 t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de f(t)=e^2t usando a definição da transformada. O conteúdo é Transformada de Laplace e vamos precisar fazer uma integral imprópria de uma exponencial.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace de uma função f(t) é
Lf(t)(s)=integral0^infty e^-,s t,f(t),dt

Passo 3

Substituindo f(t)=e^2t na definição, o integrando fica
e^-s t,e^2t=e^-(s-2),t,
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Le^2t(s)=integral0^infty e^-(s-2),t,dt

Passo 4

Para calcular a integral de um decaimento exponencial, usamos
integral0^infty e^-(s-2),t,dt =gl[-1s-2,e^-(s-2),tgr]0^infty
Esse limite converge se Re(s-2)>0, ou seja, Re(s)>2. Avaliando:
limttoinftye^-(s-2)t=0, e^-(s-2)cdot0=1,
então a integral vale
0 - l(-1s-2r) =1s-2

Resposta

A transformada de Laplace de e^2t é
Le^2t(s)=1s-2, Re(s)>2

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