Nos Exercicios de 1 a 8, use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=2^+infty nn^2-2

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
sumn=2^inftynn^2-2
O conteúdo usado é o teste da integral: se f(x) é positiva, contínua e decrescente em [2,infty) e se
integral2^inftyf(x),dx
converge (respectivamente diverge), então a série sumn=2^infty f(n) converge (respectivamente diverge).

Passo 2

Definimos
f(x)=xx^2-2,
que é contínua e positiva para x>=2. Calculamos a derivada para verificar o caráter decrescente:
f'(x) =(x^2-2)cdot1 - xcdot2x(x^2-2)^2 =x^2-2-2x^2(x^2-2)^2 =-x^2-2(x^2-2)^2<0 para x> raiz2
Logo, f(x) é decrescente em [2,infty).

Passo 3

Aplicamos o teste da integral avaliando
integral2^inftyxx^2-2,dx
Fazendo u=x^2-2 implica du=2x,dx, de modo que
integralxx^2-2,dx =12integralduu =12ln|u|+C =12lnl(x^2-2r)+C
Portanto,
integral2^txx^2-2,dx =12l[ln(t^2-2)-ln(2)r]
Ao tomar ttoinfty, ln(t^2-2)toinfty, logo a integral diverge.

Passo 4

Pelo teste da integral, como
integral2^inftyxx^2-2,dx
diverge, a série
sumn=2^inftynn^2-2
também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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