[Seção 7.1] Calcule a integral.
[35] integral0^1 / 2 cos ^-1(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1/2 cos^-1(x),dx
O conteúdo aqui é integração por partes, pois temos uma função inversa de trigonometria. Vamos usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = cos^-1(x), dv = dx
Então
du = -1raiz1 - x^2,dx, v = x

Passo 3

Aplicando integração por partes em integral0^1/2 cos^-1(x),dx, obtemos
integral0^1/2 cos^-1(x),dx = l[x,cos^-1(x)r]0^1/2 - integral0^1/2 x!l(-1raiz1 - x^2r),dx
Isto é
integral0^1/2 cos^-1(x),dx = l[x,cos^-1(x)r]0^1/2 + integral0^1/2 xraiz1 - x^2,dx

Passo 4

Avaliaremos primeiro l[x,cos^-1(x)r]0^1/2:
em x=1/2 temos cos^-1(1/2)=pi/3, logo (1/2)cdot(pi/3)=pi/6;
em x=0 fica 0cdotcos^-1(0)=0.
Portanto
l[x,cos^-1(x)r]0^1/2 = pi6

Passo 5

Agora calculemos
integral0^1/2 xraiz1 - x^2,dx
Fazemos a substituição t = 1 - x^2, de modo que dt = -2x,dx, isto é x,dx = -tfrac12,dt.
Então
integral xraiz1 - x^2,dx = integral -tfrac12,dtraizt = -12integral t^-1/2,dt = -raizt + C = -raiz1 - x^2 + C
No intervalo de 0 a 1/2, isso vale
l[-raiz1 - x^2r]0^1/2 = l(-raiz1 - (1/2)^2r) - l(-raiz1 - 0r) = -raiz32 + 1 = 1 - raiz32

Passo 6

Somando os dois resultados, a integral original é
integral0^1/2 cos^-1(x),dx = pi6 + l(1 - raiz32r) = 1 + pi6 - raiz32

Resposta

boxed1 + pi6 - raiz32

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