Nos Exercicios de 1 a 8, use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=3^+infty 4n^2-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série que começa no n = 3 e vai até o infinito: sumn=3^+infty 4n^2-4. A matéria que vamos usar para resolver isso é o teste da integral, que ajuda a dizer se uma série é convergente (ou seja, soma a um número finito) ou divergente (soma tende ao infinito). Para usar esse teste, precisamos transformar a série em uma função contínua, positiva e decrescente e então calcular uma integral relacionada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está na série. A gente tem an = 4n^2-4. Vamos considerar essa expressão como uma função contínua: f(x) = 4x^2-4.

Passo 3

O próximo passo é verificar se essa função f(x) é positiva e decrescente para x >= 3. Como x^2 - 4 é sempre positivo para x >= 3, o denominador é positivo, e portanto, f(x) também é positiva. Além disso, à medida que x aumenta, x^2 cresce mais rápido, fazendo com que f(x) diminua. Então, a função é decrescente.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teste da integral. Precisamos calcular a integral de f(x) de 3 até o infinito:
integral3^+infty 4x^2-4 , dx
Para resolver essa integral, podemos simplificar a fração. Observamos que x^2 - 4 pode ser fatorado como (x - 2)(x + 2).

Passo 5

Vamos usar a fração parcial para integrar. Podemos escrever:
4x^2-4 = 4(x - 2)(x + 2) = Ax - 2 + Bx + 2
Multiplicando ambos os lados por (x - 2)(x + 2), temos:
4 = A(x + 2) + B(x - 2)
Para encontrar A e B, vamos substituir valores de x que simplificam a equação.

Passo 6

Escolhemos x = 2:
4 = A(2 + 2) + B(2 - 2) Rightarrow 4 = 4A Rightarrow A = 1
E x = -2:
4 = A(-2 + 2) + B(-2 - 2) Rightarrow 4 = -4B Rightarrow B = -1
Então, a fração parcial fica:
4x^2-4 = 1x - 2 - 1x + 2

Passo 7

Agora, vamos integrar:
integral3^+infty ( 1x - 2 - 1x + 2 ) dx = [ ln|x - 2| - ln|x + 2| ]3^+infty
Calculando o limite quando x tende ao infinito:
limx to +infty (ln(x - 2) - ln(x + 2)) = limx to +infty ln(x - 2x + 2) = ln(1) = 0
E para x = 3:
ln(3 - 2) - ln(3 + 2) = ln(1) - ln(5) = 0 - ln(5) = -ln(5)
Então, a integral fica:
0 - (-ln(5)) = ln(5)

Passo 8

Como a integral integral3^+infty 4x^2-4 , dx converge para ln(5) (um número finito), pelo teste da integral, isso significa que a série sumn=3^+infty 4n^2-4 também é convergente.

Resposta

A série sumn=3^+infty 4n^2-4 é convergente.

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