Nos Exercicios de 1 a 8, use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série que começa no n = 3 e vai até o infinito:
. A matéria que vamos usar para resolver isso é o teste da integral, que ajuda a dizer se uma série é convergente (ou seja, soma a um número finito) ou divergente (soma tende ao infinito). Para usar esse teste, precisamos transformar a série em uma função contínua, positiva e decrescente e então calcular uma integral relacionada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está na série. A gente tem
. Vamos considerar essa expressão como uma função contínua:
.
Passo 3
O próximo passo é verificar se essa função
é positiva e decrescente para
. Como
é sempre positivo para
, o denominador é positivo, e portanto,
também é positiva. Além disso, à medida que
aumenta,
cresce mais rápido, fazendo com que
diminua. Então, a função é decrescente.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teste da integral. Precisamos calcular a integral de
de 3 até o infinito:
Para resolver essa integral, podemos simplificar a fração. Observamos que
pode ser fatorado como
.
Passo 5
Vamos usar a fração parcial para integrar. Podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Para encontrar
e
, vamos substituir valores de
que simplificam a equação.
Passo 6
Escolhemos
:
E
:
Então, a fração parcial fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar:
Calculando o limite quando
tende ao infinito:
E para
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Como a integral
converge para
(um número finito), pelo teste da integral, isso significa que a série
também é convergente.
Resposta
A série
é convergente.