Nos Exercicios de 1 a 8, use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty 2 n+3(n^2+3 n)^2

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral na série
sumn=1^infty2n+3l(n^2+3nr)^2
O conteúdo é o teste de convergência pelo integral test, que exige uma função contínua, positiva e decrescente tal que f(n)=an. Vamos definir
f(x)=2x+3l(x^2+3xr)^2
para x>=1.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do teste da integral:
1 Para x>=1, x^2+3x>0 implica f(x)>0.
2 Como x^2+3x cresce como x^2, o denominador cresce mais rápido que o numerador 2x+3, logo f(x) é decrescente para x>=1.
3 f é combinação de funções polinomiais semi-racionais, logo é contínua em [1,infty).

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
integral1^inftyf(x),dx =integral1^infty2x+3l(x^2+3xr)^2,dx
Fazendo a substituição
t = x^2+3x, dt = (2x+3),dx,
temos
integral2x+3(x^2+3x)^2,dx =integral1t^2,dt =-1t+C =-1x^2+3x+C
Portanto
integral1^inftyf(x),dx =limbtoinftyl[-tfrac1x^2+3xr]1^b =limbtoinftyl(-tfrac1b^2+3b+tfrac11+3r) =0+tfrac14 =tfrac14,
ou seja, a integral converge.

Passo 4

Pelo teste da integral, como
integral1^inftyf(x),dx
é finita e f satisfaz as hipóteses, conclui-se que a série
sumn=1^inftyan
também converge.

Resposta

A série converge.

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