Nos Exercicios de 1 a 8, use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral na série
O conteúdo é o teste de convergência pelo integral test, que exige uma função contínua, positiva e decrescente tal que
. Vamos definir
para
.
Passo 2
Verificamos as hipóteses do teste da integral:
Para
,
implica
.
Como
cresce como
, o denominador cresce mais rápido que o numerador
, logo
é decrescente para
.
é combinação de funções polinomiais semi-racionais, logo é contínua em
.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazendo a substituição
temos
Portanto
ou seja, a integral converge.
Passo 4
Pelo teste da integral, como
é finita e satisfaz as hipóteses, conclui-se que a série
também converge.
é finita e
também converge.
Resposta
A série converge.