[Seção 7.1] Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.
[39] integralraizpi / 2^raizpi theta^3 cos (theta^3) d theta

Passo 1

O enunciado pede
I = integralraizpi/2^raizpi theta^3cosl(theta^2r),dtheta
(após corrigirmos o integrando para que possa ser resolvido por substituição seguida de partes). O método será:
  1. Fazer a substituição ,u=theta^2 para eliminar o fator theta,dtheta.
  2. Aplicar integração por partes em integral ucos u,du.

Passo 2

Usamos a substituição
u = theta^2 Longrightarrow du = 2theta,dtheta Longrightarrow theta,dtheta = du2
Além disso theta^2=u, de modo que
theta^3,dtheta = theta^2cdottheta,dtheta = u;du2
Os limites em u são
theta = raiztfracpi2 longmapsto u = tfracpi2, theta = raizpi longmapsto u = pi

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
I = integralraizpi/2^raizpi theta^3cos(theta^2),dtheta = integralu=pi2^u=pi !u,cos u;du2 = tfrac12integralpi2^pi ucos u,du

Passo 4

Para calcular integral ucos u,du aplicamos integração por partes:
escolhemos
U = u, dV = cos u,du Longrightarrow dU = du, V = sin u
Logo
integral ucos u,du = U,V - integral V,dU = usin u - integral sin u,du = usin u + cos u + C
Portanto
tfrac12integralpi2^piucos u,du = tfrac12l[,usin u + cos ur]pi2^pi

Passo 5

Avaliamo nos limites:
em u=pi:
usin u + cos u = pisinpi + cospi = 0 + (-1) = -1
em u=tfracpi2:
usin u + cos u = tfracpi2sin!l(tfracpi2r) + cos!l(tfracpi2r) = tfracpi2cdot1 + 0 = tfracpi2
Logo
I = tfrac12l[(-1) - tfracpi2r] = tfrac12l(-1 - tfracpi2r) = -12 - pi4 = -pi + 24

Resposta

integralraizpi/2^raizpi theta^3cosl(theta^2r),dtheta = -pi + 24

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