Exercise 10.5 A body of density varrho is dropped from a height H into a lake where the water density is varrhow>varrho. (i) To what depth d will it sink before beginning to rise up? (ii) When it floats, what fraction f of its volume will be submerged?

Passo 1

O enunciado diz que uma corpo de densidade varrho (com varrho<varrhow) é largado de uma altura H acima da superfície da água. Ele penetra até uma profundidade d antes de parar e voltar a subir. Precisamos usar:
  1. Conservação de energia (trabalho da gravidade versus trabalho da força de empuxo).
  2. Princípio de Arquimedes para o equilíbrio final de flutuação.

Passo 2

Ao atingir a profundidade d sua energia cinética é zero. A energia potencial cedida pela gravidade é
Wg=m g,(H+d),
enquanto o empuxo realiza trabalho contra esse deslocamento igual a
Wb=varrhow,V,g,d
Na ausência de dissipação, equacionamos
m g,(H+d)=varrhow,V,g,d

Passo 3

Substituindo m=varrho V na equação do passo anterior e cancelando Vg, obtemos
varrho,(H+d)=varrhow,d Longrightarrow varrho H=(varrhow-varrho),d Longrightarrow d=varrho,Hvarrhow-varrho

Passo 4

Quando o corpo finalmente flutua em equilíbrio estático, o peso é igual ao empuxo:
varrho,V,g=varrhow,Vrm sub,g
Logo a fração f de volume submerso é
f=Vrm subV=varrhovarrhow

Resposta

(i) d=varrho,Hvarrhow-varrho
(ii) f=varrhovarrhow

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