Exercise 10.4 A rectangular hole is made on the side of a cylindrical container of water. The hole has width
, and its upper and lower edges (parallel to the base of the cylinder) are at depths
and
, respectively, measured from the water level.
(i) Show using integration that the initial flow rate out of this hole is
, neglecting the motion of water at the top of the tank.
(ii) Suppose
, where
is very small, so that we can ignore the varia- tion of the depth from the top to the bottom of the hole. Compute the flow rate and show that the exact answer above reduces to this result in the same limit. (Remember
).
(i) Show using integration that the initial flow rate out of this hole is
(ii) Suppose
Passo 1
O enunciado descreve um recipiente cilíndrico cheio de água, no qual se abre um orifício retangular de largura
. As bordas superior e inferior do orifício estão a profundidades
e
abaixo da superfície livre. Pede-se a vazão inicial de saída, usando a lei de Torricelli e desprezando o movimento da superfície.
Passo 2
Em uma profundidade genérica
abaixo da superfície, a pressão hidrostática é
e, por Torricelli, a velocidade de saída desse ponto é
Passo 3
Considere uma faixa horizontal do orifício, de espessura e largura
. Sua área é
e a vazão diferencial que sai por essa faixa é
Passo 4
Para obter a vazão total, integramos de
até
:
Como
segue
Passo 5
Agora suponha
com
. Expandimos em série de Taylor:
Logo
Passo 6
Substituindo no resultado exato,
que é justamente
com
e
.
Resposta
(i)
(ii)
(ii)