Exercise 10.4 A rectangular hole is made on the side of a cylindrical container of water. The hole has width w, and its upper and lower edges (parallel to the base of the cylinder) are at depths d1 and d2, respectively, measured from the water level.
(i) Show using integration that the initial flow rate out of this hole is
2 w3 raiz2 g[d2^3 / 2-d1^3 / 2] m^3s, neglecting the motion of water at the top of the tank.
(ii) Suppose d2=d1+de<a, where de<a is very small, so that we can ignore the varia- tion of the depth from the top to the bottom of the hole. Compute the flow rate and show that the exact answer above reduces to this result in the same limit. (Remember (1+x)^n=1+n x+ldots ).

Passo 1

O enunciado descreve um recipiente cilíndrico cheio de água, no qual se abre um orifício retangular de largura w. As bordas superior e inferior do orifício estão a profundidades d1 e d2 abaixo da superfície livre. Pede-se a vazão inicial de saída, usando a lei de Torricelli e desprezando o movimento da superfície.

Passo 2

Em uma profundidade genérica y abaixo da superfície, a pressão hidrostática é
p(y)=rho,g,y
e, por Torricelli, a velocidade de saída desse ponto é
v(y)=raiz2g,y,

Passo 3

Considere uma faixa horizontal do orifício, de espessura e largura . Sua área é
e a vazão diferencial que sai por essa faixa é

Passo 4

Para obter a vazão total, integramos de até :
Como
segue

Passo 5

Agora suponha d2=d1+de<a com de<all d1. Expandimos em série de Taylor:
(d1+de<a)^3/2 = d1^3/2l(1+tfracde<ad1r)^3/2 approx d1^3/2l[1+tfrac32tfracde<ad1r] = d1^3/2 + 32,d1^1/2,de<a
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d2^3/2-d1^3/2approx 32,d1^1/2,de<a

Passo 6

Substituindo no resultado exato,
Q approx 2w3,raiz2g,32,d1^1/2,de<a = w,de<a,raiz2g,d1,
que é justamente Q=A,v com A=wde<a e v=raiz2g,d1.

Resposta

(i) Q = 2w3,raiz2g,l[d2^3/2-d1^3/2r]
(ii) Q approx w,de<a,raiz2g,d1

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