Exercise 10.3 A wide can of water is filled to height h. At what height from the base should I drill a hole to (i) get the maximum range for the jet that comes out and (ii) ensure that the jet travels a horizontal distance equal to the vertical distance? (iii) What is the maximum horizontal distance the jet can travel? Neglect the velocity of water at the top of the can.

Passo 1

O enunciado trata de um recipiente aberto cheio de água até altura h. Abrimos um furo a uma altura x acima da base; a água sai horizontalmente e cai no solo. O problema envolve dois tópicos: o Teorema de Torricelli (para velocidade de escoamento) e o movimento de um projétil com velocidade inicial horizontal. Vamos usar essas ideias para achar o alcance horizontal R em função de x.

Passo 2

Pelo Teorema de Torricelli, a velocidade de saída é
v = raiz2g,(h - x)
Como o jato sai de altura x, o tempo de queda até o solo (queda livre) é
t = raiz2xg
Assim, o alcance horizontal é
R(x) = v,t = raiz2g,(h - x);raiz2xg = 2raizx,(h - x)

Passo 3

Para (i) queremos o x que maximiza R(x). Basta maximizar o argumento do radical:
f(x)=x(h-x)
Derivando e igualando a zero,
f'(x)=h-2x=0 Longrightarrow x=h2
Substituindo em R(x), obtemos o alcance máximo
Rmax=Rl(tfrach2r) =2raiztfrach2l(h-tfrach2r) =2raizh^24 =h

Passo 4

Para (ii) impomos que o alcance seja igual à altura de onde sai, ou seja
R(x)=x Longrightarrow 2raizx(h-x)=x
Elevando ao quadrado e simplificando,
4x(h-x)=x^2 ;Longrightarrow; 4h-4x=x ;Longrightarrow; 5x=4h ;Longrightarrow; x=4h5

Resposta

(i) h2
(ii) 4h5
(iii) h

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