Exercise 10.3 A wide can of water is filled to height
. At what height from the base should I drill a hole to (i) get the maximum range for the jet that comes out and (ii) ensure that the jet travels a horizontal distance equal to the vertical distance? (iii) What is the maximum horizontal distance the jet can travel? Neglect the velocity of water at the top of the can.
Passo 1
O enunciado trata de um recipiente aberto cheio de água até altura
. Abrimos um furo a uma altura
acima da base; a água sai horizontalmente e cai no solo. O problema envolve dois tópicos: o Teorema de Torricelli (para velocidade de escoamento) e o movimento de um projétil com velocidade inicial horizontal. Vamos usar essas ideias para achar o alcance horizontal
em função de
.
Passo 2
Pelo Teorema de Torricelli, a velocidade de saída é
Como o jato sai de altura
, o tempo de queda até o solo (queda livre) é
Assim, o alcance horizontal é
Passo 3
Para (i) queremos o
que maximiza
. Basta maximizar o argumento do radical:
Derivando e igualando a zero,
Substituindo em
, obtemos o alcance máximo
Passo 4
Para (ii) impomos que o alcance seja igual à altura de onde sai, ou seja
Elevando ao quadrado e simplificando,
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(ii)
(iii)