Encontrar os valores de k_{1} e k_{2} para que o sistema seja possível (isto é, consistente).
Determinar o conjunto solução do sistema quando esses valores são escolhidos.
Informações relevantes fornecidas:
As quatro equações lineares acima, com k_{1} e k_{2} aparecem apenas nos termos independentes (lado direito) das equações 3 e 4.]
Passo 2
Estratégia de resolução (de maneira simples e prática): usar eliminação de Gauss sobre a matriz aumentada do sistema. Vou montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares sobre as linhas para simplificar o sistema e verificar possíveis linhas do tipo 0= \text{constante}. Se surgir uma linha com coeficientes todos zerados e constante não nulo, o sistema é impossível; se as constantes também zerarem, então é possível e eu encontro a solução por retro-substituição. Vou explicar cada operação e o motivo passo a passo.
Passo 3
Montando a matriz aumentada (cada linha corresponde a uma equação; colunas são x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} e o termo independente):
Interpretação das últimas duas linhas: ambas têm todos os coeficientes iguais a zero (colunas de incógnitas), ficando apenas as constantes nos termos independentes.
A linha [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\;|\;k_{1}+4] representa a equação 0 = k_{1}+4.
A linha [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\;|\;k_{2}-4] representa a equação 0 = k_{2}-4.
Para que o sistema seja possível (consistente), essas equações têm de ser verdadeiras, ou seja:
k_{1}+4=0 \quad\text{e}\quad k_{2}-4=0.
Logo:
k_{1}=-4,\qquad k_{2}=4.
Se qualquer um desses não for satisfeito, teríamos 0= constante não nula e o sistema seria impossível.
Passo 7
Agora supondo os valores exigidos k_{1}=-4 e k_{2}=4, as linhas 3 e 4 tornam-se 0=0 (não impõem restrição) e a matriz reduzida é: