Exercise 3. Encontre os valores de k_{1} e k_{2} para que o sistema abaixo seja possível e determine o seu conjunto solução.
\left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{2}+2 x_{4}=1 \\\\ 4 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+7 x_{4}=2 \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+x_{4}=k_{1} \\\\ 4 x_{1}-4 x_{2}+8 x_{4}=k_{2} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{2}+2 x_{4}=1 \\[4pt] 4 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+7 x_{4}=2 \\[4pt] 2 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+x_{4}=k_{1} \\[4pt] 4 x_{1}-4 x_{2}+8 x_{4}=k_{2} \end{array}\right.
O problema pede duas coisas:
  1. Encontrar os valores de k_{1} e k_{2} para que o sistema seja possível (isto é, consistente).
  2. Determinar o conjunto solução do sistema quando esses valores são escolhidos.
Informações relevantes fornecidas:
  • As quatro equações lineares acima, com k_{1} e k_{2} aparecem apenas nos termos independentes (lado direito) das equações 3 e 4.]

Passo 2

Estratégia de resolução (de maneira simples e prática): usar eliminação de Gauss sobre a matriz aumentada do sistema. Vou montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares sobre as linhas para simplificar o sistema e verificar possíveis linhas do tipo 0= \text{constante}. Se surgir uma linha com coeficientes todos zerados e constante não nulo, o sistema é impossível; se as constantes também zerarem, então é possível e eu encontro a solução por retro-substituição. Vou explicar cada operação e o motivo passo a passo.

Passo 3

Montando a matriz aumentada (cada linha corresponde a uma equação; colunas são x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} e o termo independente):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 0 & 2 & 1\\[4pt] 4 & -2 & 1 & 7 & 2\\[4pt] 2 & 4 & 3 & 1 & k_{1}\\[4pt] 4 & -4 & 0 & 8 & k_{2} \end{array}\right]]

Passo 4

Primeira etapa de eliminação: zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna (usar a primeira linha como pivô).
  • Fazer R_{2}\leftarrow R_{2}-4R_{1}.
  • Fazer R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1}.
  • Fazer R_{4}\leftarrow R_{4}-4R_{1}.
Calculemos cada nova linha:
  • R_{2}-4R_{1}:
[4,-2,1,7\,|\,2]-4[1,-1,0,2\,|\,1]=[0,2,1,-1\,|\,-2].
  • R_{3}-2R_{1}:
[2,4,3,1\,|\,k_{1}]-2[1,-1,0,2\,|\,1]=[0,6,3,-3\,|\,k_{1}-2].
  • R_{4}-4R_{1}:
[4,-4,0,8\,|\,k_{2}]-4[1,-1,0,2\,|\,1]=[0,0,0,0\,|\,k_{2}-4].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 6 & 3 & -3 & k_{1}-2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & k_{2}-4 \end{array}\right]]

Passo 5

Segunda etapa de eliminação: usar a segunda linha como pivô para zerar a entrada abaixo dela na segunda coluna.
  • Observe que R_{3} tem segunda entrada 6 e R_{2} tem 2. Fazer R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{2} (porque 6-3\cdot2=0).
Calculemos R_{3}-3R_{2}:
[0,6,3,-3\,|\,k_{1}-2]-3[0,2,1,-1\,|\,-2]=[0,0,0,0\,|\, (k_{1}-2)-3(-2)]=[0,0,0,0\,|\,k_{1}+4].
A matriz agora é:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & k_{1}+4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & k_{2}-4 \end{array}\right]]

Passo 6

Interpretação das últimas duas linhas: ambas têm todos os coeficientes iguais a zero (colunas de incógnitas), ficando apenas as constantes nos termos independentes.
  • A linha [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\;|\;k_{1}+4] representa a equação 0 = k_{1}+4.
  • A linha [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\;|\;k_{2}-4] representa a equação 0 = k_{2}-4.
Para que o sistema seja possível (consistente), essas equações têm de ser verdadeiras, ou seja:
k_{1}+4=0 \quad\text{e}\quad k_{2}-4=0.
Logo:
k_{1}=-4,\qquad k_{2}=4.
Se qualquer um desses não for satisfeito, teríamos 0= constante não nula e o sistema seria impossível.

Passo 7

Agora supondo os valores exigidos k_{1}=-4 e k_{2}=4, as linhas 3 e 4 tornam-se 0=0 (não impõem restrição) e a matriz reduzida é:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Temos dois pivôs (nas colunas de x_{1} e x_{2}) e quatro incógnitas, portanto há 4-2=2 variáveis livres. Vou escolher como parâmetros:
x_{3}=s,\qquad x_{4}=t,\quad\text{com }s,t\in\mathbb{R}.]

Passo 8

Resolver as equações das duas primeiras linhas por retro-substituição.
Da segunda linha (linha pivô para x_{2}):
2x_{2}+x_{3}-x_{4}=-2.
Substituindo x_{3}=s e x_{4}=t:
2x_{2}+s-t=-2 \quad\Rightarrow\quad 2x_{2}=-2-s+t.
Logo
x_{2}=-1-\frac{s}{2}+\frac{t}{2}.
Da primeira linha (linha pivô para x_{1}):
x_{1}-x_{2}+2x_{4}=1.
Substituindo x_{2} e x_{4}=t:
x_{1}-\Big(-1-\frac{s}{2}+\frac{t}{2}\Big)+2t=1.
Compute passo a passo:
x_{1}+1+\frac{s}{2}-\frac{t}{2}+2t=1.
Isolando x_{1}:
x_{1}=1-1-\frac{s}{2}+\frac{t}{2}-2t = -\frac{s}{2}+\Big(\frac{1}{2}-2\Big)t = -\frac{s}{2}-\frac{3}{2}t.

Passo 9

Resumindo a solução em função dos parâmetros s e t (onde s=x_{3} e t=x_{4}):
x_{1}=-\frac{1}{2}s-\frac{3}{2}t,\qquad x_{2}=-1-\frac{1}{2}s+\frac{1}{2}t,\qquad x_{3}=s,\qquad x_{4}=t,
com s,t\in\mathbb{R}.
Alternativamente, em forma vetorial:
\begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\\[2pt]x_{3}\\[2pt]x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]-1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}, \quad s,t\in\mathbb{R}.]

Resposta

k_{1}=-4,\\ k_{2}=4
\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\Big(-\tfrac{1}{2}s-\tfrac{3}{2}t,\,-1-\tfrac{1}{2}s+\tfrac{1}{2}t,\;s,\;t\Big),\\ s,t\in\mathbb{R}

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